[科普中國(guó)]-三角數(shù)

定義

三角數(shù)即正整數(shù)前n項(xiàng)和： 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78,..n(n+1)/2 ，從1+2+3+…+n談起在建筑工地上堆積許多圓木條，從側(cè)面看去它們堆積成三角形的樣子。最頂層一根，第二層二根，第三層三根······。 想要知道這堆木料究意有多少條圓木？就開(kāi)始計(jì)算：一、二、三、……。 可是這樣計(jì)算并不太快，而且容易錯(cuò)誤。為較準(zhǔn)確和迅速得到堆積木條總數(shù)，介紹古代中國(guó)和希臘勞動(dòng)人民的一個(gè)方法。

N乘以（N+1）除以2的商是N三角數(shù)。

一個(gè)奇平方數(shù)減1是除以8是一個(gè)三角數(shù)。

[(2K+1)^2-1]/8=T （T三角數(shù)）。

通項(xiàng)公式

{[（2K+1）2^n]^2-(2^N)^2)}/8(2^n)^2=T

三角數(shù)乘以9加上1仍是三角數(shù)。

三角數(shù)二倍平方根取整是這個(gè)三角數(shù)的序數(shù)。

三角數(shù)的位數(shù)和只有1，3，6，9四種。

位數(shù)和是1的三角數(shù)，它的序數(shù)位數(shù)和只有1，4，7三種。

序數(shù)位數(shù)和是1的三角數(shù)減1除以9仍是三角數(shù)，它的序數(shù)位數(shù)和是全面的。

序數(shù)位數(shù)和是4三角數(shù)減1除以9，仍是位數(shù)和1的三角數(shù)。

序數(shù)位數(shù)和是7的三角數(shù)，減1除以9，位數(shù)和是3，6，9的三角數(shù)。

位數(shù)和是3的三角數(shù),序數(shù)位數(shù)和只有2與6二種。

序數(shù)位數(shù)和是2的三角數(shù)，加上6 除以9，減去序數(shù)除以9的滿入數(shù)（上取整，下同），仍是位數(shù)和3，6，9的三角數(shù)。

序數(shù)位數(shù)和是6的三角數(shù)，減去3除以9，加上序數(shù)除以9的滿入數(shù)，仍是位數(shù)和3，6，9的三角數(shù)。

位數(shù)和是6的三角數(shù)，序數(shù)位數(shù)和只有3與5二種。

序數(shù)位數(shù)和是3的三角數(shù)，減去6除以9，加上序數(shù)除以9的滿入數(shù)，仍是位數(shù)和1的三角數(shù)。

序數(shù)位數(shù)和是5的三角數(shù)，加上3除以9，減去序數(shù)除以9的滿入數(shù)，仍是位數(shù)和1的三角數(shù)。

發(fā)現(xiàn)八歲孩子發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)定理：

18世紀(jì)的德國(guó)出了一個(gè)大科學(xué)家高斯（ Carl Friedrich Gauss1777－1855）。他生在一個(gè)貧窮的家里，父親什么工作都做過(guò)：園丁、勞工、商人助手、雜貨店的算帳員等等。母親是一個(gè)石匠的女兒，雖然只讀一點(diǎn)點(diǎn)的書(shū)，但人非常的聰明。高斯在還不會(huì)講話時(shí)就自己學(xué)計(jì)算，在三歲時(shí)有一天晚上他看著父親在算工錢(qián)時(shí)，還糾正父親計(jì)算的錯(cuò)誤。

長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他在物理的電磁學(xué)方面有一些貢獻(xiàn)，電磁學(xué)的一個(gè)單位就是用他的名字命名。數(shù)學(xué)家們則稱(chēng)呼他為“數(shù)學(xué)王子”。

將物品以三角形樣式排列，我們會(huì)得到一串?dāng)?shù)字1,3,6,10,...,我們將這些數(shù)字稱(chēng)為"三角數(shù)"。

打過(guò)保齡球嗎? 保齡球球瓶排列方式就是一個(gè)三角數(shù)喔！

PS: 三角數(shù)即 『 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, ......』1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ...

他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書(shū)。教算術(shù)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾個(gè)小猢猻讀書(shū)，真是大材小用。而他又有些偏見(jiàn)：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書(shū)不必認(rèn)真，如果有機(jī)會(huì)還應(yīng)該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂(lè)趣。

這一天正是算術(shù)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑悒的臉孔，心里畏縮起來(lái)，知道老師又會(huì)在今天捉些學(xué)生處罰了。

“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰(shuí)算不出就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說(shuō)坐在椅子上看去了。

課室里的小朋友們拿起石板開(kāi)始計(jì)算：“1加2等于3，3加3等于6， 6加4等于10，……”一些小朋友加到一個(gè)數(shù)字后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)字越來(lái)越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心額上滲出了汗來(lái)。

還不到半點(diǎn)鐘，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”

老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說(shuō)：“去！回去再算！錯(cuò)了！”他想不可能這么快學(xué)生就會(huì)有答案了。

可是高斯卻站著不動(dòng)，把石板伸向老師面前，“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的?！?/p>

算術(shù)老師本來(lái)想要怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫(xiě)了這樣的數(shù)：5050，他驚奇起來(lái)。因?yàn)樗约涸?jīng)算過(guò)，得到的數(shù)值也是5050，這個(gè)10歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？

高斯解釋他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)1+2+3+…+n的方法。高斯的發(fā)現(xiàn)使到老師覺(jué)得羞愧，覺(jué)得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的，他以后也認(rèn)真教起書(shū)來(lái)，并且還常從城里買(mǎi)些數(shù)學(xué)書(shū)自己進(jìn)修并借給高斯看。在他的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了。

古代的算法古時(shí)的中國(guó)和希臘人怎樣算這和：

2400年前的希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯稱(chēng)這樣的數(shù)1，1+2，1 +2+3，1+2+3+4，等等為三角數(shù)（Triangular number）。他和門(mén)徒用1個(gè)圓球代表1，并且把三角數(shù)用下面的圖形表示：1

我們用Sn來(lái)表示1+2+3+…+n的值要知道Sn的數(shù)目，我們可以設(shè)想有另外一個(gè)Sn（這里用白圓球來(lái)表示），把它倒放，并和原來(lái)的Sn靠攏拼合起來(lái)；我們就得到一個(gè)菱形（圖二，這里n是等于4的情形），總共有n行，每一行有n+1個(gè)圓球，所以全部有n（n+1）個(gè)圓球。這是兩個(gè)Sn，因此一個(gè)Sn應(yīng)該是n（n+1）÷2。

無(wú)獨(dú)有偶，中國(guó)人也是用這方法找出Sn的值。宋朝數(shù)學(xué)家楊輝，他考慮由草束堆成的尖垛，頂層是一束，從上到下逐層增加一束，如果知道底層的束數(shù)，就可以算出全部草束的總數(shù)。他提出的一個(gè)問(wèn)題是：“今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束。問(wèn)共幾束？答：36束?！彼挠?jì)算方法和以上的說(shuō)明是一樣的。

畢達(dá)哥拉斯和門(mén)徒們發(fā)現(xiàn)了三角數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：任意兩個(gè)連續(xù)三角數(shù)的和是一個(gè)平方數(shù)。2

很容易聯(lián)想到的一個(gè)問(wèn)題：是否1^2+2^2+3^2+…+n^2，以及1^3+2^3+3^3+…+n^3也能找到簡(jiǎn)單公式來(lái)算它們的和？

據(jù)說(shuō)那個(gè)在澡堂里發(fā)現(xiàn)了“浮力定律”而忘記自己仍舊是赤身露體奔跑在街道上高喊著“Eureka！Eureka！”（我已發(fā)現(xiàn)了！我已發(fā)現(xiàn)了?。┑南ＥD科學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）早已知道這兩個(gè)和的公式是：

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）÷6

1^3+2^3+3^3+…n^3=（1+2+…+n）^2

可是在阿基米德以后的希臘數(shù)學(xué)家想要知道1^4+2^4+3^4+…+n^4的和的公式，卻是無(wú)能為力。這個(gè)和的公式要在1000年后11世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家Alhean時(shí)才知道。

中算圓周率中算家在這方面的成果：

中國(guó)數(shù)學(xué)家很早就認(rèn)識(shí)了等差級(jí)數(shù)，在中國(guó)最早的數(shù)學(xué)書(shū)《周髀算經(jīng)》里談到“七衡”（日月運(yùn)行的圓周）的直徑以19833里100步×2遞增，這就是等差級(jí)數(shù)。

約在公元1世紀(jì)成書(shū)的中國(guó)重要數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》在《衰分》和《均輸》二章里的問(wèn)題和等差級(jí)數(shù)有關(guān)。

在5世紀(jì)末南北朝的張丘建在他著的《張丘建算經(jīng)》就有三個(gè)問(wèn)題是等差級(jí)數(shù)的問(wèn)題：

[題一]今有女子善織布，逐日所織的布以仝數(shù)遞增，已知第一日織五尺，經(jīng)一月共織39丈，問(wèn)逐日增多少？

[題二]今有女子不善織布，逐日所織的布以仝數(shù)遞減，已知第一日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織30日。問(wèn)共織布多少。

答：9丈。

[題三]今有某君以錢(qián)贈(zèng)給許多人，先第一人給三錢(qián)，第二人給四錢(qián)，第三人給五錢(qián)，繼續(xù)依次遞增，錢(qián)給其他許多人。給完錢(qián)后把諸人所得的錢(qián)全部收回，再平均分派，結(jié)果每人得100錢(qián)，問(wèn)人數(shù)多少？

答：195人。

唐朝和宋朝的數(shù)學(xué)家研究級(jí)數(shù)，并不是單純追求趣味性，而是實(shí)際的需要。當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家都假定日、月、星辰在天空中的運(yùn)動(dòng)是等加速或等減速運(yùn)動(dòng)，每日經(jīng)行的路程是等差級(jí)數(shù)。

比如唐朝的天文學(xué)家僧一行（683—727），是世界上最早發(fā)現(xiàn)恒星在天上的位置會(huì)變動(dòng)的天文學(xué)家。在他所著的《大衍歷》里就是利用等差級(jí)數(shù)的求和公式來(lái)計(jì)算行星的行程。

宋朝時(shí)對(duì)等差級(jí)數(shù)和高階等差級(jí)數(shù)的研究有最卓越的貢獻(xiàn)的該是沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把甕、缸、瓦盆三類(lèi)的東西推成長(zhǎng)方臺(tái)，底層排成一個(gè)長(zhǎng)方形，以上的每層長(zhǎng)闊各減少一個(gè)，因此他想要知道是否有簡(jiǎn)單的式子可以計(jì)算。

他看古算術(shù)書(shū)：《九章算術(shù)》的《商功》章原有長(zhǎng)方臺(tái)體積（古書(shū)稱(chēng)為“芻童”）的公式。用這公式來(lái)求實(shí)際的問(wèn)題，常常是比原數(shù)少。因此他創(chuàng)造了新法《隙積法》以補(bǔ)“古書(shū)所不到者”。（“用芻童法求之，常失于數(shù)少，予思而得之?！保?/p>

假設(shè)長(zhǎng)方臺(tái)上底是a×b，下底是a'×b'共有n層，因?yàn)閺纳系较?，每一層的縱橫各增加一個(gè)，所以a'-a=b'-b=n-1，沈括的求和公式是：

ab+（a+1）（b+1）+（a+2）（b+2）+…+a'b'=

讀者如果令a=b=1，a'=b'=n，代入以上的公式就可以得到

12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）÷6

沈括留給后世的《夢(mèng)溪筆談》是一部?jī)?nèi)容豐富的科學(xué)著作，里面談到數(shù)學(xué)、天文、物理、化學(xué)、生物、地質(zhì)、地理、氣象、醫(yī)藥和工程技術(shù)等，英國(guó)自然科學(xué)史家李約瑟教授對(duì)這書(shū)評(píng)價(jià)極高。3而日本數(shù)學(xué)家三上義夫（Mikami Yoshio 1875—1950）對(duì)沈括非常推崇，他認(rèn)為對(duì)古代數(shù)學(xué)來(lái)講：“日本的數(shù)學(xué)家沒(méi)有一個(gè)比得上沈括，像中根元圭精于醫(yī)學(xué)、音樂(lè)和歷書(shū)，但沒(méi)有沈括的經(jīng)世之才；本多利明精航海術(shù)，有經(jīng)世才，但不能像沈括的多才多藝。如果在別國(guó)中能找到和沈括相比的數(shù)學(xué)家，那么德國(guó)的萊布尼茲和法國(guó)的卡羅，在某點(diǎn)上或可和沈括比較，但若一面遠(yuǎn)勝沈括，同時(shí)又多才多藝，那就談不到了。僅有希臘的阿契泰斯，他的學(xué)識(shí)經(jīng)驗(yàn)最能和沈括相比?？傊蚶ㄟ@樣的人物，在全世界數(shù)學(xué)史上找不到，惟有中國(guó)出了這一個(gè)人。我把沈括當(dāng)做中國(guó)數(shù)學(xué)家的模范人物或理想人物，是很恰當(dāng)?shù)?。”（?jiàn)《中國(guó)算學(xué)之特色》）

在沈括后，宋朝的數(shù)學(xué)家在級(jí)數(shù)研究有較好成果的，該算13世紀(jì)時(shí)的楊輝。他提出了三角垛公式：

1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=n（n+1）（n+2）÷6

元朝朱世杰是一個(gè)到處傳授數(shù)學(xué)的教書(shū)先生，他在1299年寫(xiě)了一部《算學(xué)啟蒙》以及1303年寫(xiě)的《四元玉鑒》就研究等差和高階等差級(jí)數(shù)，特別是在后面那部著作，他擴(kuò)充了楊輝的三角垛和公式，建立起屬于他的三角數(shù)公式，以及更復(fù)雜的公式。這些也是比費(fèi)馬早三百多年的時(shí)間。

朱世杰的書(shū)在17世紀(jì)流傳到日本去，對(duì)日本數(shù)學(xué)家的級(jí)數(shù)理論的研究影響很大。反而在中國(guó)，自從朱世杰以后的400年來(lái)，級(jí)數(shù)理論卻停頓著沒(méi)有再發(fā)展。要到18世紀(jì)時(shí)的董佑誠(chéng)和李善蘭等才有一些論見(jiàn)。

級(jí)數(shù)理論和微積分學(xué)的產(chǎn)生有密切的關(guān)系，中國(guó)數(shù)學(xué)家很早就用幾何方法來(lái)推算球體的體積。在宋元的時(shí)候中國(guó)基本上具備了產(chǎn)生微積分的準(zhǔn)備條件，可惜卻沒(méi)有一個(gè)人能像以后的西歐的萊布尼茲及牛頓那樣承先啟后的工作。