[科普中國]-索伯列夫空間

索伯列夫空間的動機

在研究偏微分方程中，人們往往需要運用泛函分析的相關(guān)知識，因此需要找到一個合適的空間。在索伯列夫空間中，偏微分方程的解得到了某種意義下的“弱化”（下見弱導(dǎo)數(shù)部分），這導(dǎo)致人們可以在更大的空間中求偏微分方程的解以及解的正則性等性質(zhì)。1

弱導(dǎo)數(shù)弱導(dǎo)數(shù)的動機記 是 的一個子集，假設(shè)有一個連續(xù)可微函數(shù) 以及具有緊支集的光滑函數(shù) ，利用分部積分公式可知：

注意到因為函數(shù) 具有緊支集，故式中的邊界項為 。因此我們考慮多重指標(biāo) ，其中 為非負整數(shù)，我們記 ，則有

其中

我們記

則 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。弱導(dǎo)數(shù)就是這樣的思想在 空間里的類比。

弱導(dǎo)數(shù)的定義假設(shè) ， 是一個多重指標(biāo)，若對于任何測試函數(shù) ，

則稱 是 的 階弱偏導(dǎo)數(shù)，記做

可以證明如果一個函數(shù)的 階弱偏導(dǎo)數(shù)存在，那么偏導(dǎo)數(shù)在幾乎處處為零的意義上是唯一的。

索伯列夫空間的定義對于任何實數(shù) ，以及實數(shù) ，我們可以定義索伯列夫空間 。

整數(shù)k的索伯列夫空間當(dāng) 為正整數(shù)的時候（此時記 為 ），索伯列夫空間 是由局部可積函數(shù) 構(gòu)成，其中 滿足：對于任何多重指標(biāo) ， 存在且屬于 。2

索伯列夫空間是賦范線性空間，在以下范數(shù)下其為巴拿赫空間：

若 ，該空間往往記為 ，我們使用 表示該空間因為此時索伯列夫空間為希爾伯特空間。

非整數(shù)s的索伯列夫空間當(dāng) 為非整數(shù)時，索伯列夫空間 可由傅里葉變換定義：

函數(shù)的 范數(shù)是

索伯列夫延拓算子延拓定理若 有界且邊界 是 （此處指在局部邊界可以表示為一個 函數(shù)的圖像），選擇任何一個有界開集 滿足 （此處指存在一個緊集 滿足 ）。3則存在一個有界線性算子

滿足對于任何有

(i) 在中幾乎處處：；

(ii)的支集包含于；

(iii) 存在依賴于，和的常數(shù)滿足：。

全延拓算子若且是一個李普希茲區(qū)域，則存在一個將上幾乎處處定義的函數(shù)送到上幾乎處處定義的函數(shù)的線性算子滿足且對于任何正整數(shù)有。

索伯列夫嵌入索伯列夫嵌入又稱為索伯列夫不等式，對于一個函數(shù)空間，人們自然會問一個問題，也就是這個函數(shù)空間與其他函數(shù)空間關(guān)系的問題。索伯列夫不等式恰好能夠描述索伯列夫空間與其他函數(shù)空間的嵌入關(guān)系。4

Morrey不等式對于，那么存在常數(shù)使得對于任何都有

其中。

推廣：

如果，那么存在一個常數(shù)使得對于任何

其中若，，若，為任何中的實數(shù)。

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式**不等式：**如果，則存在常數(shù)使得對于任何函數(shù)都有

**嵌入：**若是一個中的有界開集且其邊界為的。假設(shè)，那么對于，都有，且存在常數(shù)使得

同名書籍基本信息作者: 亞當(dāng)斯

出版年: 2009-8

頁數(shù): 305

定價: 69.00元

ISBN: 9787510005374

內(nèi)容簡介這部專著的研究提出了一個介紹性的特性Banach空間一定弱可微函數(shù)實例變量所產(chǎn)生的inconnection與眾多的理論問題,偏微分方程近似理論,以及許多其他領(lǐng)域的純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。這些空間有被聯(lián)系到的名字. . Sobolev俄羅斯mathematician晚,雖然他們的起源比他的主要貢獻totheir發(fā)展在1930年代晚期。