[科普中國]-雙正交小波

基本概況

小波分析是純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的完美結(jié)合，理論上它是刻畫函數(shù)空間與研究算子作用的重要方法，它的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用始終受益于計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號處理、圖像處理、應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)、等眾多科學(xué)研究領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者和工程師們的共同努力。2

歷史發(fā)展1990年，崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條的雙正交小波函數(shù)，并討論了具 有最好局部化性質(zhì)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)；

1992年，Daubechies等人提出了具有緊支撐的雙正交小波基；

1992年，A Cohen等人又構(gòu)造了具有線性相位的雙正交小波，使小波分析更適用于信號處理；

1994年12月，Sweldens Wim提出了不依靠傅里葉變換，而運(yùn)用提升算法構(gòu)造的雙正交小波(稱之為第二代小波)變換；

1996年，SweldenS從一個(gè)全新的視角來討論緊支集雙正交小波函數(shù)的構(gòu)造，提出了一種上升型方案。

主要分類雙正交小波構(gòu)造方法可大致分為兩類：頻譜分解和提升格式。傳統(tǒng)的雙正交小波構(gòu)造方法基于頻譜分解，其中有代表性的是Cohen等人提出的CDF方法。3通過預(yù)先指定小波及其對偶的消失矩，再對相應(yīng)的三角多項(xiàng)式進(jìn)行頻譜分解，他們構(gòu)造出雙正交樣條小波(Biorthogonal Spline Wavelet,BSW)系列以及無理數(shù)系數(shù)的CDF9-7，CDF11-9等小波。然而，該類方法構(gòu)造過程復(fù)雜、不易推廣，且在構(gòu)造高消失矩小波時(shí)需要分解高階三角多項(xiàng)，這并不是一個(gè)平凡的數(shù)學(xué)過程。

構(gòu)造方法提升格式是一種完全基于時(shí)域的雙正交小波構(gòu)造方法，與頻譜分解方法相比，提升格式有固定的小波構(gòu)造公式，其不僅簡單易于理解，具有通用性和靈活性，而且有高效的小波變換實(shí)現(xiàn)方式?；谔嵘袷降男〔ɡ碚撆c應(yīng)用迅速吸引了眾多專家的密切關(guān)注。4

具體到雙正交小波構(gòu)造方面：Sweldens給出了Deslauriers-Dubuc小波(D-DW)系列的提升構(gòu)造過程。Li等人研究了提升格式與消失矩的關(guān)系，提出從任意小波出發(fā)，構(gòu)造具有任意消失矩小波的方法。