[科普中國(guó)]-斜對(duì)稱矩陣

定義

設(shè) ， 如果 ，即 ，則稱A為斜對(duì)稱矩陣（也稱為反對(duì)稱矩陣）。1斜對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線所有元素為零，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/2xppBJXwKKd48NJakzkOQjIxyQ9PwXGMQkNm.jpg" alt="" /> ，所以 。2

例如：

運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算設(shè) 是斜對(duì)稱矩陣，則A+B為斜對(duì)稱矩陣。1

證明：設(shè)A,B為斜對(duì)稱矩陣，所以有 。

易得 ，因此A+B為斜對(duì)稱矩陣。

數(shù)乘運(yùn)算設(shè) 是斜對(duì)稱矩陣，則 為斜對(duì)稱矩陣。1

證明：設(shè)A為斜對(duì)稱矩陣，所以有 。

易得 ，因此kA為斜對(duì)稱矩陣。

冪次運(yùn)算設(shè) 是斜對(duì)稱矩陣。

（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)， 為對(duì)稱矩陣；

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)， 為斜對(duì)稱矩陣。1

逆運(yùn)算設(shè) 是斜對(duì)稱矩陣，若 ，則 仍為斜對(duì)稱矩陣。

伴隨運(yùn)算設(shè) 是斜對(duì)稱矩陣。

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，adjA為斜對(duì)稱矩陣；

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，adjA為對(duì)稱矩陣。1

證明：設(shè)A為斜對(duì)稱矩陣，所以有 。

故有當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得 ，即為斜對(duì)稱矩陣；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 ，即為對(duì)稱矩陣。

定理定理1任意方陣A均可以表示成為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)斜對(duì)稱矩陣之和。1

證明：設(shè)A為任意方陣，易得

令

則有 ，即B是一個(gè)對(duì)稱矩陣，C是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣，故命題成立。

定理2設(shè) 是中心斜對(duì)稱矩陣，則有：

（1）S可以表示成

其中 。

（2） 。3