[科普中國]-龐加萊映射

龐加萊映射

龐加萊映射是由相空間中軌線運動定義的一種映射。當(dāng)軌線反復(fù)穿越同一截面時，反映后繼點對先行點依賴關(guān)系的映射。一個連續(xù)非線性動力系統(tǒng)的求解是非常困難的，法國數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)給出了相圖分析法。在相圖中雖然不能定量地知道物理量隨時間的變化，但可以定性地得到軌線的形態(tài)類型及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而了解動力系統(tǒng)運動的全局圖像。為了更清楚了解高維相空間運動的形態(tài)，龐加萊在連續(xù)運動的軌線上用一個截面(稱龐加萊截面)將其橫截，軌線在截面上穿過的情況就可以簡捷地判斷運動的形態(tài).以S記龐加萊截面，xn(n=0，1，2，…)為軌線前一次穿過S的點，xn+1為軌線后一次穿過S的點，xn+1可看成xn的一種映射：1

xn+1=f(xn) (n=0，1，2，…)，

這個映射就稱為龐加萊映射。這樣就可從概念上把一個連續(xù)的運動化簡為離散映射來研究。

同時，該映射的不動點則反映相空間的周期運動。如果運動是二倍周期的，則在龐加萊截面有兩個不動點；如果運動是四倍周期的，則有四個不動點等。

映射映射亦稱函數(shù)。數(shù)學(xué)的基本概念之一。也是一種特殊的關(guān)系。設(shè)G是從X到Y(jié)的關(guān)系，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y(jié)的映射。即關(guān)系G為映射時，應(yīng)滿足下列兩個條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關(guān)系G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關(guān)系是y=f(x)(x∈X)，當(dāng)且僅當(dāng)G(x，y)成立?？扇∽冇騒中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變量。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變量。始集X稱為映射f的定義域.記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關(guān)系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當(dāng)y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

相空間相空間又稱“相宇”。 經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)中為描述系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 所采用的多維空間。如果只考慮微觀粒子 的移動，則每一個粒子的運動狀態(tài)可以由 空間位置x、y、z以及相應(yīng)動量分量px、 py、pz來確定。對于N個粒子組成的系統(tǒng)， 如以N個粒子的x1、y1、z1、…、xN、yN、 zN、px1、py1、pz1、…、pxN、pyN、pzN為坐 標(biāo)軸，組成6N維空間，則該空間中的每一 點，即代表系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)，點的運動 則代表微觀狀態(tài)的變化，這種空間稱為“相 空間”或“γ空間”。如以x、y、z、px、py、 pz為坐標(biāo)軸，組成6維空間，則空間中每一 點代表處于一定運動狀態(tài)的一個粒于系 統(tǒng)的微觀狀態(tài)則由N個點的集合來代表，點集的運動則代表微觀狀態(tài)的變化，這種空間稱為“子相空間”或“μ空間”。如果還 要考慮除移動以外其他的微觀運動形態(tài)， 如轉(zhuǎn)動、振動等，則相空間的維數(shù)相應(yīng)增 加。2

相圖相圖表示不均勻體系中“相”與成分、溫度、壓強等熱力學(xué)參數(shù)之間關(guān)系。從被測定的相圖的種類而言，有平衡圖、亞穩(wěn)圖和表達(dá)某種特性的相圖。其中以平衡圖研究應(yīng)用的最為廣泛。

平衡圖是表示不同溫度、壓力以及不同成分下物體系中各相熱力學(xué)平衡關(guān)系的一種圖解，也稱作狀態(tài)圖。等溫等壓條件下，熱力學(xué)平衡狀態(tài)總是對應(yīng)于系統(tǒng)總的Gibbs自由能G最低的狀態(tài)。因此，原則上說，總是可以由已知各相在給定溫度和壓強下的自由能G隨成分變化的相對關(guān)系求出平衡圖，當(dāng)今不少相圖計算的工作就是基于這樣的思想。平衡圖更多是由實驗測定的，常用的實驗方法有熱分析法、金相法、X射線法、電阻法、膨脹法以及磁性法、硬度法，熱電勢法等等。最常用的平衡圖是在定壓條件下用溫度-成分表征的平衡圖，如二元相圖、三元相圖等.二元相圖指由二組元組成體系的相圖，由于表征成分的獨立變量只有一個(x1+x2=1)，常用橫坐標(biāo)表示成分(可以是重量百分?jǐn)?shù)，也可以是原子百分?jǐn)?shù))，縱坐標(biāo)表示溫度.所以等壓下的二元相圖是一個平面圖.最簡單類型的二元相圖有勻晶相圖、共晶相圖、包晶相圖、形成化合物(或中間相)的相圖、偏晶相圖，以及有固態(tài)轉(zhuǎn)變的共析、包析等的相圖。從這些相圖可以知道不同成分的合金，在某溫度下的平衡狀態(tài)有哪些相，溫度改變時，可能發(fā)生哪些轉(zhuǎn)變，在兩相平衡區(qū)還可以利用杠桿定律知道各相的相對數(shù)量和相的成分等等。

實際固體材料中，不少相是處于亞穩(wěn)狀態(tài)，這種狀態(tài)決定于溫度、壓力和其它條件的連續(xù)變化，因而構(gòu)成了一個比平衡圖更復(fù)雜的體系。圖1為Al-Cu合金中G.P.區(qū)和θ″相溶解度的相圖。G.P.區(qū)和θ″相都是亞穩(wěn)相，所以這是一個亞穩(wěn)相圖。由于非晶材料、準(zhǔn)晶材料和快冷技術(shù)的出現(xiàn)，亞穩(wěn)相圖的研究已成為一個值得重視的方向。3

人物簡介——龐加萊法國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家和科學(xué)哲學(xué)家。1875年畢業(yè)于巴黎多科工藝學(xué)校，1879年以關(guān)于微分方程一般解的論文獲得博士學(xué)位，同年到卡昂大學(xué)任教。1881年入巴黎大學(xué)任教授，直到去世。他一生寫下了將近500篇科學(xué)論文和30部專著，這還不包括頗受歡迎的科學(xué)哲學(xué)著作和趣味盎然的科普著作。他的貢獻(xiàn)幾乎遍及了當(dāng)時數(shù)學(xué)和物理學(xué)的全部領(lǐng)域。

龐加萊對數(shù)學(xué)的第一個重大貢獻(xiàn)是在1880年以后創(chuàng)立了自守函數(shù)理論，解決了解析函數(shù)的單值化問題。

1884年法國《數(shù)學(xué)學(xué)報》連續(xù)發(fā)表了他關(guān)于這一課題的5篇論文，立即使他獲得了世界性的聲譽。他又是多復(fù)變解析函數(shù)論的創(chuàng)始人，并在1883年的一篇短文中首先研究整函數(shù)的格與其泰勒展開的系數(shù)或者函數(shù)的絕對值的增長率之間的關(guān)系，成為整函數(shù)與亞純函數(shù)理論的開端。他最杰出的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微分方程定性理論，他于1880—1886年發(fā)表的四篇大論文，使這一分支在一開始就發(fā)展到了幾乎完善的地步。1885年以后.他關(guān)于微分方程的論文都涉及天體力學(xué)，特別是三體問題，首創(chuàng)天體力學(xué)的嚴(yán)格處理方法，并因?qū)θw問題的研究于1889年第一個獲得瑞典國王奧斯卡二世為“n體問題”設(shè)立的獎金.為了進(jìn)一步研究線性微分方程，他對發(fā)散級數(shù)進(jìn)行了深入討論，開創(chuàng)了漸近展開理論。在代數(shù)學(xué)中，他第一次引入了左理想與右理想的概念。1901年他的一篇數(shù)論論文成為有理數(shù)域(或代數(shù)數(shù)域)上的代數(shù)幾何學(xué)的開端。1901—1911年他關(guān)于代數(shù)曲面F(x，y，z)=0中所含的代數(shù)曲線的幾篇論文對代數(shù)幾何作出了突出貢獻(xiàn)。對代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，他創(chuàng)造了單形的同調(diào)論的一整套方法，并由此引發(fā)了一系列重要結(jié)果.他又是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺主義學(xué)派的先驅(qū)之一.此外，他對相對論和量子理論做出了具有啟發(fā)性的貢獻(xiàn).他的科學(xué)哲學(xué)思想對20世紀(jì)眾多的科學(xué)家和哲學(xué)家產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.他被譽為“理性科學(xué)的活躍智囊”，“本世紀(jì)初唯一留下的全才”，是對數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識的一個人。