[科普中國(guó)]-積空間

很明顯，X上的乘積拓?fù)淇梢员硎鰹樾螢閜i(U)的集合生成的拓?fù)洌渲衖屬于I而U是Xi的一個(gè)開(kāi)集。換句話說(shuō)，集合{pi(U)}構(gòu)成X上的拓?fù)涞淖踊?。X的子集是開(kāi)的當(dāng)且僅當(dāng)它是(可能無(wú)窮多的)的有限個(gè)形為pi(U)的集合的交集的并集。pi(U)有時(shí)稱為開(kāi)柱，而它們的交集稱為柱集。

我們可以用構(gòu)成X的空間Xi的基來(lái)表述乘積拓?fù)涞幕ＴO(shè)對(duì)于每個(gè)i屬于I，選取一個(gè)集合Yi或者是整空間Xi或者是該空間的一個(gè)基，并且滿足Xi = Yi對(duì)于除了有限個(gè)I中的i之外的所有i成立。令B為集合Yi的卡積。所有可以這樣構(gòu)造的B集合的族構(gòu)成乘積空間的一個(gè)基。這意味著有限多空間的乘積有一個(gè)由Xi的基元素的乘積組成的基。

如果指標(biāo)集為有限（特別是，對(duì)于兩個(gè)拓?fù)淇臻g的乘積），則積拓?fù)溆懈?jiǎn)單的表述。這個(gè)情況下，每個(gè)Xi的拓?fù)涞某朔e構(gòu)成X上的拓?fù)涞囊粋€(gè)基。一般來(lái)講，Xi的拓?fù)涞某朔e構(gòu)成一個(gè)稱為X上的盒拓?fù)涞幕?。一般情況下，盒拓?fù)浔确e拓?fù)涓?xì)，但是對(duì)于有限乘積，它們是相同的。

例子從實(shí)直線R上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)溟_(kāi)始，定義n份R的乘積，就得到普通的R上的歐幾里得拓?fù)洹?/p>

康托爾集同胚于可數(shù)個(gè)離散空間{0,1}的乘積而無(wú)理數(shù)的空間同胚于可數(shù)個(gè)自然數(shù)集的乘積，每個(gè)集合也是采用離散拓?fù)洹?/p>

屬性乘積空間X加上標(biāo)準(zhǔn)投影，可以用如下的泛性質(zhì)來(lái)刻劃：若Y是拓?fù)淇臻g，并且對(duì)于每個(gè)I中的i，fi : Y → Xi是一個(gè)連續(xù)映射，則存在恰好一個(gè)連續(xù)映射f : Y → X滿足對(duì)于每個(gè)I中的i如下交換圖成立： 這表明乘積空間是拓?fù)淇臻g范疇中的積。從上述范性質(zhì)可以得出映射f : Y → X連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)fi = pi o f對(duì)于所有I中的i連續(xù)。在很多情況下，檢查分量函數(shù)fi的連續(xù)性更為方便。檢驗(yàn)映射g : X→ Z是否連續(xù)通常更難；可以試著用某種方式利用pi連續(xù)這一點(diǎn)。

除了連續(xù)，標(biāo)準(zhǔn)投影pi : X → Xi也是開(kāi)映射。這表示每個(gè)積空間的開(kāi)子集投影到Xi上還是開(kāi)集。反過(guò)來(lái)不真：若W是到所有Xi的投影都是開(kāi)集的積空間的子空間，則W不一定是X中的開(kāi)集。（例如，W = R \ (0,1).）標(biāo)準(zhǔn)投影通常不是閉映射。

積拓?fù)溆袝r(shí)稱為點(diǎn)式收斂拓?fù)?，因?yàn)椋篨上的一個(gè)序列 （或者網(wǎng)）收斂當(dāng)且僅當(dāng)它所有到當(dāng)且僅當(dāng)所有Xi收斂。特別是，如果考慮所有在空間X = R對(duì)于所有I上的實(shí)值函數(shù)，在積拓?fù)渖系氖諗烤褪呛瘮?shù)的點(diǎn)式收斂。

積拓?fù)涞囊粋€(gè)重要定理就是吉洪諾夫定理：任何緊致空間的乘積是緊致的。對(duì)于有限乘積很容易看出，而其一般情況等價(jià)于選擇公理。

聯(lián)系和其它拓?fù)涓拍畹穆?lián)系

可分離性每個(gè)T0空間的積是T0的。2

每個(gè)T1空間的積是T1的。

每個(gè)豪斯多夫空間的積是豪斯多夫的。

每個(gè)正則空間的積是正則的。

每個(gè)吉洪諾夫空間的積是吉洪諾夫空間。

正規(guī)空間的積不一定是正規(guī)的。

緊致性每個(gè)緊致空間的積是緊致的（吉洪諾夫定理）局部緊致空間的積不一定是局部緊致的。

連通性每個(gè)連通（路徑－連通）空間是連通的（路徑－連通的）。

每個(gè)遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。

每個(gè)"局部看起來(lái)"一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)投影F × U → U的空間稱為纖維叢。