[科普中國]-三重積分

定義

設(shè)三元函數(shù)z=f(x,y,z）定義在有界閉區(qū)域Ω上將區(qū)域Ω任意分成n個(gè)子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i個(gè)子域的體積.在Δvi上任取一點(diǎn) 作和 .如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí)，此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z）在區(qū)域Ω上的三重積分，記為 ，即 ，其中dv叫做體積元素。

其中，∫∫∫稱為三重積分號(hào)，f(x,y,z）為被積函數(shù)，f(x,y,z)dv稱為被積表達(dá)式，dv稱為體積元，x、y、z為積分變量，Ω為積分區(qū)域， 為積分和。1

性質(zhì)線性性質(zhì)(1) (k為常數(shù))，被積常數(shù)中的常數(shù)因子可以提到三重積分號(hào)外面。

(2)設(shè)α、β為常數(shù)，則 ，函數(shù)的和（或差）的三重積分等于各個(gè)函數(shù)的三重積分的和或差。

可加性質(zhì)如果空間閉區(qū)域G被有限個(gè)曲面分為有限個(gè)子閉區(qū)域，則在G上的三重積分等于各部分閉區(qū)域上三重積分的和。

不等性質(zhì) 如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，則有，特殊地，若函數(shù)f(x,y,z)在Ω上可積，則|f(x,y,z)|亦在Ω上可積，且有。

估值性質(zhì) 設(shè)M、m分別為f(x,y,z)在閉區(qū)域G上的最大值和最小值，V為G的體積，則有mV≤≤MV。

積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域G上連續(xù)，V是G的體積，則在G上至少存在一個(gè)點(diǎn) 使得

。

另外由重積分的性質(zhì)知，當(dāng)f（M）=1時(shí)，三重積分 ，這里V（Ω）表示空間域Ω的度量，即V（Ω）表示Ω的體積。2

計(jì)算方法直角坐標(biāo)系法適用于被積區(qū)域Ω不含圓形的區(qū)域，且要注意積分表達(dá)式的轉(zhuǎn)換和積分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先計(jì)算豎直方向上的一豎條積分，再計(jì)算底面的積分。

①區(qū)域條件：對(duì)積分區(qū)域Ω無限制；

②函數(shù)條件：對(duì)f（x,y,z）無限制。

⑵先二后一法（截面法）：先計(jì)算底面積分，再計(jì)算豎直方向上的積分。

①區(qū)域條件：積分區(qū)域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成

②函數(shù)條件：f（x，y）僅為一個(gè)變量的函數(shù)。

柱面坐標(biāo)法適用被積區(qū)域Ω的投影為圓時(shí)，依具體函數(shù)設(shè)定，如設(shè)

①區(qū)域條件：積分區(qū)域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；

②函數(shù)條件：f（x,y,z）為含有與 （或另兩種形式）相關(guān)的項(xiàng)。

球面坐標(biāo)系法適用于被積區(qū)域Ω包含球的一部分。

①區(qū)域條件：積分區(qū)域?yàn)榍蛐位蚯蛐蔚囊徊糠郑F面也可以；

②函數(shù)條件：f（x,y,z）含有與 相關(guān)的項(xiàng)。

幾何意義三重積分就是立體的質(zhì)量。

當(dāng)積分函數(shù)為1時(shí)，就是其密度分布均勻且為1，質(zhì)量就等于其體積值。

當(dāng)積分函數(shù)不為1時(shí)，說明密度分布不均勻。

三重積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f（x，y，z）在Ω上連續(xù)

(1)如果Ω關(guān)于xOy（或xOz或yOz）對(duì)稱，且f（x，y，z）關(guān)于z（或y或x）為奇函數(shù)，則：

(2)如果Ω關(guān)于xOy（或xOz或yOz）對(duì)稱，Ω1為Ω在相應(yīng)的坐標(biāo)面某一側(cè)部分，且f（x，y，z）關(guān)于z（或y或x）為偶函數(shù)，則：

(3)如果Ω與Ω’關(guān)于平面y=x對(duì)稱，則：