[科普中國]-全序關(guān)系

定義

設(shè)集合X上有一全序關(guān)系，如果我們把這種關(guān)系用 ≤ 表述，則下列陳述對于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配對了在其上相關(guān)的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、線序集合（linearly ordered set）、簡單序集合（simply ordered set）或**鏈（**chain）。鏈還常用來描述某個(gè)偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

關(guān)系的完全性可以如下這樣描述：對于集合中的任何一對元素，在這個(gè)關(guān)系下都是相互可比較的。

注意完全性條件蘊(yùn)涵了自反性，也就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反對稱的和傳遞的二元關(guān)系）。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。1

可作為選擇的，可以定義全序集合為特殊種類的格，它對于集合中的所有 a, b 有如下性質(zhì)：

我們規(guī)定 a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng)?？梢宰C明全序集合是分配格。2

全序集合形成了偏序集合的范疇的全子范疇，通過是關(guān)于這些次序的映射的態(tài)射，比如，映射 f 使得"如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)"。

在兩個(gè)全序集合間的關(guān)于兩個(gè)次序的雙射是在這個(gè)范疇內(nèi)的同構(gòu)。

嚴(yán)格全序?qū)τ诿總€(gè)(非嚴(yán)格)全序 ≤ 都有一個(gè)相關(guān)聯(lián)的非對稱(因此反自反)的叫做嚴(yán)格全序的關(guān)系 是 ≤ 的補(bǔ)關(guān)系的逆關(guān)系)

性質(zhì)：

關(guān)系是傳遞的： a

關(guān)系是三分的： a

關(guān)系是嚴(yán)格弱序，這里關(guān)聯(lián)的等價(jià)是等同性。

我們可以其他方式工作，選擇

a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng) a

a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng) ?(b

還有兩個(gè)關(guān)聯(lián)的次序是補(bǔ)關(guān)系 ≥ 和 >，它們構(gòu)成了四元組 {, ≤, ≥}。

我們可以通過這四個(gè)關(guān)系中的任何一個(gè)，定義或解釋集合全序的方式；由符號(hào)易知所談?wù)摰氖欠菄?yán)格的，抑或是嚴(yán)格全序。2

全序關(guān)系與偏序關(guān)系偏序和全序是公里集合論中的概念。首先需要知道什么是二元關(guān)系。比如實(shí)數(shù)中的“大小”關(guān)系，集合的集合中的“包含”關(guān)系就是兩種二元關(guān)系。所謂偏序，即偏序關(guān)系，是一種二元關(guān)系。所謂全序，即全序關(guān)系，自然也是一種二元關(guān)系。全序是指，集合中的任兩個(gè)元素之間都可以比較的關(guān)系。比如實(shí)數(shù)中的任兩個(gè)數(shù)都可以比較大小，那么“大小”就是實(shí)數(shù)集的一個(gè)全序關(guān)系。偏序是指，集合中只有部分元素之間可以比較的關(guān)系。比如復(fù)數(shù)集中并不是所有的數(shù)都可以比較大小，那么“大小”就是復(fù)數(shù)集的一個(gè)偏序關(guān)系。顯然，全序關(guān)系必是偏序關(guān)系。反之不成立。2

例子字母表的字母按標(biāo)準(zhǔn)字典次序排序，比如 A

把一個(gè)全序限制到其全序集合的一個(gè)子集上。

所有的兩個(gè)元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是說，如果 a,b 是 X 的成員，則 a≤b 或 b≤a 中的一個(gè)為真或二者都為真)。

由基數(shù)或序數(shù)(實(shí)際上是良序)組成的任何集合。

如果 X 是任何集合，而 f 是從 X 到一個(gè)全序集合的單射函數(shù)，則 f 誘導(dǎo)出 X 上的一個(gè)全序：規(guī)定 x1

設(shè)有某個(gè)集族，其成員都是用序數(shù)為索引的全序集合，然後把這集族上取的笛卡爾積中的有序?qū)Π醋值湫蚺判颍屈N，這字典序是一全序。例如，若有一個(gè)集合由一些詞語組成，按字母表把詞語排序的話會(huì)是一全序。舉個(gè)實(shí)例，我們規(guī)定"bird"先於"cat"。這可視為是向字母表加入空格符號(hào)""（定義""先于所有字母），得到集合A，然後對其自身取可數(shù)次笛卡爾積，得到Aω。"bird"可理解為Aω里的序?qū)?"b","i","r","d","","",...)，"cat"則是("c","a","t","","","",...)。從而{"bird","cat"}成為Aω的一個(gè)子集，把Aω上的字典序限制到這字集，便得出"bird"