[科普中國]-差分法

例子常微分方程

例如考慮以下的常微分方程

利用數(shù)值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

來近似導(dǎo)數(shù)，并配合一些代數(shù)處理（等號兩側(cè)同乘以h，再加上u(x)），可得

最后的方程式即為有限差分方程，求解此方程則可得到原方程的近似解。

熱傳導(dǎo)方程考慮正規(guī)化的一維熱傳導(dǎo)方程式，為齊次的狄利克雷邊界條件

（邊界條件）

（初始條件）

對此問題求數(shù)值解的一種方式是用差分去近似所有的導(dǎo)數(shù)，可以將空間分割為，將時間也分割為。假設(shè)在時間及空間都是均勻的網(wǎng)格切割，空間中兩個連續(xù)位置的間隔為h，兩個連續(xù)時間之間的間隔為k。點(diǎn)

表示的數(shù)值近似解。

顯式方法熱傳導(dǎo)方程最常用顯式方法的模版2

利用在時間的前向差分，以及在位置的二階中央差分（FTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

這是用求解一維導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的顯式方法。

可以用以下的式子求解

其中

因此配合此迭代關(guān)系式，已知在時間n的數(shù)值，可以求得在時間n+1的數(shù)值。及的數(shù)值可以用邊界條件代入，在此例中為0。

此顯式方法在時，為數(shù)值穩(wěn)定且收斂。其數(shù)值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

隱式方法隱式方法的模版2

若使用時間的后向差分，及位置的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

這是用求解一維導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的隱式方法。

在求解線性聯(lián)立方程后可以得到：

此方法不論 r的大小，都數(shù)值穩(wěn)定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進(jìn)一個時間間隔，就需要求解一個聯(lián)立的數(shù)值方程組。其數(shù)值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

準(zhǔn)確度及誤差近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是舍入誤差及截尾誤差（或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數(shù)時四舍五入造成的誤差，后者則是計算機(jī)內(nèi)數(shù)字位數(shù)限制造成的誤差。2

差分法是以在格點(diǎn)上函數(shù)的值為準(zhǔn)

在運(yùn)用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的網(wǎng)格分割（可參考右圖）。因此有限差分法會制造一組導(dǎo)數(shù)的離散數(shù)值近似值。

一般會關(guān)注近似解的局部截尾誤差，會用大O符號表示，局部截尾誤差是指應(yīng)用有限差分法一次后產(chǎn)生的誤差，因此為，此時是實際值，而為近似值。泰勒多項式的余數(shù)項有助于分析局部截尾誤差。利用泰勒多項式的余數(shù)項，也就是

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導(dǎo)數(shù)，已知,

利用一些代數(shù)的處理，可得

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個余數(shù)，因此余數(shù)就是局部截尾誤差。上述范例可以用下式表示：

在此例中，局部截尾誤差和時間格點(diǎn)的大小成正比。

資料分析速算適用形式兩個分?jǐn)?shù)作比較時，若其中一個分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個分?jǐn)?shù)的分子與分母分別僅僅大一點(diǎn)，這時候使用“直除法”、“化同法”經(jīng)常很難比較出大小關(guān)系，而使用“差分法”卻可以很好地解決這樣的問題。

基礎(chǔ)定義在滿足“適用形式”的兩個分?jǐn)?shù)中，我們定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)”，分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)”，而這兩個分?jǐn)?shù)的分子、分母分別做差得到的新的分?jǐn)?shù)我們定義為“差分?jǐn)?shù)”。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是“大分?jǐn)?shù)”，313/51.7就是“小分?jǐn)?shù)”，而(324-313)/(53.1-51.7)=11/1.4就是“差分?jǐn)?shù)”。

作用準(zhǔn)則“差分?jǐn)?shù)”代替“大分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”作比較：

1、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大；

2、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)??；

3、若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等。

比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較”，因為11/1.4>313/51.7（可以通過“直除法”或者“化同法”簡單得到），所以324/53.1>313/51.7。

特別注意一、“差分法”本身是一種“精算法”而非“估算法”，得出來的大小關(guān)系是精確的關(guān)系而非粗略的關(guān)系；

二、“差分法”與“化同法”經(jīng)常聯(lián)系在一起使用，“化同法緊接差分法”與“差分法緊接化同法”是資料分析速算當(dāng)中經(jīng)常遇到的兩種情形。

三、“差分法”得到“差分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”做比較的時候，還經(jīng)常需要用到“直除法”。

四、如果兩個分?jǐn)?shù)相隔非常近，我們甚至需要反復(fù)運(yùn)用兩次“差分法”，這種情況相對比較復(fù)雜，但如果運(yùn)用熟練，同樣可以大幅度簡化計算。

計量經(jīng)濟(jì)學(xué)差分法，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的專有名詞，是克服相關(guān)序列相關(guān)性的有效方法，它是將原計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型變換為差分模型后再進(jìn)行OLS估計，分為一階差分法和廣義差分法（廣義差分法又名迭代法）。3

解題步驟步驟：

一：建立微分方程

二：構(gòu)造差分格式

三：求解差分方程

四：精度分析和檢驗

數(shù)學(xué)思想通過taylor級數(shù)展開等方法把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的方程組。將微分問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

大的數(shù) 小的數(shù)

9/5 和 7/4 比較

（9-7）/（5-4）=2/1

2/1大于7/4所以9/5大于7/4