[科普中國]-可解群

解釋

對于有限群1，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為質(zhì)數(shù)目的循環(huán)群之合成列的群。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質(zhì)數(shù)目的循環(huán)群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質(zhì)，則其循環(huán)群即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性并不必然于無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數(shù)群Z的非當然子群皆同構(gòu)于Z本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構(gòu)于Z的商群之正規(guī)列{0,Z}，證明了其確實是可解的。

和喬治·波里亞的格言“若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以算出的較簡單的問題”相一致的，可解群通常在簡化有關(guān)一復雜的群的推測至一系列有著簡單結(jié)構(gòu)－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。

例子所有的阿貝爾群都是可解的－其商群A/B總會是可交換的，若A為可交換的。但非阿貝爾群則不一定都是可解的。

更一般地，所有冪零群都是可解的。特別地是，所有的有限p-群都是可解的，因為所有的有限p-群都會是冪零的。

可解但不為冪零的群的一個小例子為對稱群S3。實際上，當最小的簡單非可貝爾群為A5(5度的交錯群)時，它允許每一個目小于60的群皆為可解的。

群S5不是可解的－它有一合成列{E,A5,S5}(且若爾當-赫爾德定理表示每個其他的合成列都會等價于此一合成列)，給出了同構(gòu)于A5及C2的商群；而A5為非可換的。廣義化此一論述，結(jié)合An在n > 4時為Sn的正規(guī)、最大且非阿貝爾簡單子群的事實，可知n > 4的所有Sn皆不可解，此亦為證明每一個n > 4的n次多項式都不可以以方根得解的關(guān)鍵步驟。

著名的范特-湯普遜定理敘述著，每一個奇數(shù)目的有限群皆是可解的。特別地是，此定理表示，若一有限群為簡單的，其必為質(zhì)數(shù)循環(huán)或有偶數(shù)目。

性質(zhì)可解性的性質(zhì)在某一意義上是可繼承的，如下：

若G為可解的，且H為G的子群，則H也是可解的。

若G是可解的，且H為G的正規(guī)子群，則G/H也是可解的。

若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態(tài)，則H也是可解的。

若H及G/H為可解的，則G也是可解的。

若G及H為可解的，則其直積G × H也是可解的。

導群設(shè)G是群，a，bG，定義a,b的換位子[a,b]=，由G的所有換位子生成的群稱為G的換位子群或?qū)?，記作G’，定義G的高階導群，若存在正整數(shù)n使得（1是G的單位元），則稱G是可解群。該定義與用正規(guī)子群列的定義等價。

超可解群做為可解性的加強版，一個群G被稱為超可解的，若它有一其商群皆為循環(huán)群的不變正規(guī)列；換句話說，if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G，且每個Ai+1/Ai都不只是可交換而已，且也是循環(huán)的(可能為無限目)。因為一正規(guī)列在定義中有有限的長度，所以不可數(shù)阿貝爾群不會是超可解的。實際上，所有的超可解群皆為有限產(chǎn)生群，且一個阿貝爾群為超可解的當且僅當其為有限產(chǎn)生的。

若限制在有限產(chǎn)生群中，將可以有下列的排序：2

循環(huán)群 S5不可解性

**證:**若S5是可解的，則存在正規(guī)子群N使S5/N可交換。設(shè)f為S5到S5/N的自然同態(tài)，考察三項循環(huán)(a,b,c)∈S5，再取另兩元d，e。令x=(d,b,a),y=(a,e,c)。x-1y-1xy的f像為x‘-1y'-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交換知x‘-1y'-1x'y'=1，即有x-1y-1xy=(a,b,c)∈N。故N包含所有三輪換，同理其正規(guī)群列均包含三輪換，所以不可能結(jié)束于1。（此證明事實上也給出了5次以上的證明）