[科普中國]-龍格庫塔法

經(jīng)典四階法

在各種龍格－庫塔法當(dāng)中有一個方法十分常用，以至于經(jīng)常被稱為“RK4”或者就是“龍格－庫塔法”。該方法主要是在已知方程導(dǎo)數(shù)和初值信息，利用計算機仿真時應(yīng)用，省去求解微分方程的復(fù)雜過程。1

令初值問題表述如下。

則，對于該問題的RK4由如下方程給出：

其中

這樣，下一個值（yn+1）由現(xiàn)在的值（yn）加上時間間隔（h）和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權(quán)平均：

k1是時間段開始時的斜率；

k2是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率k1來決定y在點tn+h/2的值；

k3也是中點的斜率，但是這次采用斜率k2決定y值；

k4是時間段終點的斜率，其y值用k3決定。

當(dāng)四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權(quán)值：

RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h階，而總積累誤差為h階。

注意上述公式對于標量或者向量函數(shù)（y可以是向量）都適用。

顯式法顯式龍格－庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出1

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但卻等價的定義）。

要給定一個特定的方法，必須提供整數(shù)s（級數(shù)），以及系數(shù)aij（對于1 ≤j