[科普中國(guó)]-克羅內(nèi)克積

定義

如果A是一個(gè)m×n的矩陣，而B是一個(gè)p×q的矩陣，克羅內(nèi)克積則是一個(gè)mp×nq的分塊矩陣

更具體地可表示為1

例子

特性雙線性結(jié)合律克羅內(nèi)克積是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性與結(jié)合律：

其中，A,B和C是矩陣，而k是常量。

克羅內(nèi)克積不符合交換律：通常，不同于。

和是置換等價(jià)的，也就是說，存在置換矩陣P和Q，使得

如果A和B是方塊矩陣，則和甚至是置換相似的，也就是說，我們可以取P=Q。

混合乘積性質(zhì)如果A、B、C和D是四個(gè)矩陣，且矩陣乘積AC和BD存在，那么：

這個(gè)性質(zhì)稱為“混合乘積性質(zhì)”，因?yàn)樗旌狭送ǔ５木仃嚦朔e和克羅內(nèi)克積。于是可以推出，是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)A和B是可逆的，其逆矩陣為：

克羅內(nèi)克和如果A是n×n矩陣，B是m×m矩陣，表示k×k單位矩陣，那么我們可以定義克羅內(nèi)克和為：

與抽象張量積矩陣的克羅內(nèi)克積對(duì)應(yīng)于線性映射的抽象張量積。特別地，如果向量空間V、W、X和Y分別具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩陣A和B分別在恰當(dāng)?shù)幕斜硎揪€性變換S:V→X和T:W→Y，那么矩陣A?B表示兩個(gè)映射的張量積S?T:V?W→X?Y，關(guān)于V?W的基{v1? w1, v1? w2, ... , v2? w1, ... , vm? wn}和X?Y的類似基。2

與圖的乘積兩個(gè)圖的鄰接矩陣的克羅內(nèi)克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個(gè)圖的鄰接矩陣的克羅內(nèi)克和，則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。3

轉(zhuǎn)置克羅內(nèi)克積轉(zhuǎn)置運(yùn)算符合分配律：

矩陣方程克羅內(nèi)克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如，考慮方程AXB=C，其中A、B和C是給定的矩陣，X是未知的矩陣。我們可以把這個(gè)方程重寫為

這樣，從克羅內(nèi)克積的性質(zhì)可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，當(dāng)且僅當(dāng)A和B是非奇異矩陣。（Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1）.

在這里，vec(X)表示矩陣X的向量化，它是把X的所有列堆起來所形成的列向量。

如果把X的行堆起來，形成列向量x，則AXB也可以寫為（Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products）。

歷史盡管沒有明顯證據(jù)證明利奧波德·克羅內(nèi)克是第一個(gè)定義并使用這一運(yùn)算的人，克羅內(nèi)克積還是以其名字命名。確實(shí)，在歷史上，克羅內(nèi)克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。