[科普中國(guó)]-層化

數(shù)理邏輯中

在數(shù)理邏輯中，層化是保證一個(gè)邏輯理論存在唯一形式釋義的任何一致的數(shù)到謂詞符號(hào)的指派。特別是，對(duì)于Horn子句理論，我們稱一個(gè)理論是層化的，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)層化指派 S 滿足下列條件:

(A) 如果謂詞 P 是肯定的推導(dǎo)自謂詞 Q，則 P 的層化數(shù)必定大于等于 Q 的層化數(shù)，簡(jiǎn)寫為 。

(B) 如果謂詞 P 推導(dǎo)自否定的謂詞 Q，則 P 的層化數(shù)必定大于 Q 的層化數(shù)，簡(jiǎn)寫為 。

層化只保證 Horn 子句理論的唯一釋義。它被蒯因(1937年)用來解決羅素悖論，它破壞了弗雷格的中心著作《Grundgesetze der Arithmetik》 (1902年)。

新基礎(chǔ)中在帶有等式和成員關(guān)系的一階邏輯的語言中，一個(gè)公式 對(duì)新基礎(chǔ)和有關(guān)集合論被稱為是層化的，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)函數(shù) 以如下方式映射在 中出現(xiàn)的每個(gè)變量(考慮為一個(gè)語法單位)到一個(gè)自然數(shù)(如果所有整數(shù)都使用則運(yùn)做相當(dāng)良好)， 中出現(xiàn)的任何原子公式 滿足 而在 中出現(xiàn)的任何原子公式 x=y滿足。1

顯然要求只在原子公式是約束于要考慮的集合抽象 中的時(shí)候滿足這些條件就足夠了。滿足這個(gè)弱條件的集合抽象被稱成弱層化。

新基礎(chǔ)的層化推廣到了帶有更多謂詞和帶有項(xiàng)構(gòu)造的語言。每個(gè)基本謂詞都需要規(guī)定所需要的 在(弱)層化公式中的(約束)參數(shù)上的值之間的置換(displacement)。在帶有項(xiàng)構(gòu)造的語言中，項(xiàng)自身需要被指派在 下的值，帶有它在(弱)層化公式中的每個(gè)(約束)參數(shù)上的值的固定置換。定義的項(xiàng)構(gòu)造(可能只是含蓄的)使用描述理論來巧妙的處理: 項(xiàng) (x 使得 ) 必須被指派在 下同變量 x 同樣的值。

一個(gè)公式是層化的，當(dāng)且僅當(dāng)有可能指派類型給在公式中出現(xiàn)的所有變量，以在新基礎(chǔ)文章中描述的 TST 版本的類型論中有意義的方式。