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簡(jiǎn)述

在線性代數(shù)中，基(basis)（也稱(chēng)為基底）是描述、刻畫(huà)向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個(gè)特殊的子集，基的元素稱(chēng)為基向量。向量空間中任意一個(gè)元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個(gè)數(shù)有限，就稱(chēng)向量空間為有限維向量空間，將元素的個(gè)數(shù)稱(chēng)作向量空間的維數(shù)。1

使用基底可以便利地描述向量空間。比如說(shuō)，考察從一個(gè)向量空間射出的線性變換f，可以查看這個(gè)變換作用在向量空間的一組基上的效果。掌握了，就等于掌握了 f對(duì) 中任意元素的效果。

不是所有空間都擁有由有限個(gè)元素構(gòu)成的基底。這樣的空間稱(chēng)為無(wú)限維空間。某些無(wú)限維空間上可以定義由無(wú)限個(gè)元素構(gòu)成的基。如果承認(rèn)選擇公理，那么可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個(gè)向量空間的基不止一組，但同一個(gè)空間的兩組不同的基，它們的元素個(gè)數(shù)或勢(shì)（當(dāng)元素個(gè)數(shù)是無(wú)限的時(shí)候）是相等的。一組基里面的任意一部分向量都是線性無(wú)關(guān)的；反之，如果向量空間擁有一組基，那么在向量空間中取一組線性無(wú)關(guān)的向量，一定能將它擴(kuò)充為一組基。在內(nèi)積向量空間中，可以定義正交的概念。通過(guò)特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標(biāo)準(zhǔn)正交基。

定義給定一個(gè)向量空間。的一組基B是指里面的可線性生成的一個(gè)線性無(wú)關(guān)子集。B的元素稱(chēng)為基向量。

更詳細(xì)來(lái)說(shuō)，設(shè)是在系數(shù)域F（比如實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C）上的向量空間V的有限子集。如果滿足下列條件：

對(duì)任意，如果，則必然；

對(duì)任意，可以選擇，使得。

就說(shuō)B 是向量空間的一組基。第二個(gè)條件中，將一個(gè)向量表示成的形式，稱(chēng)為向量 v在基底下的分解。稱(chēng)為向量v在基底B下的分量表示。

有有限基的向量空間叫做有限維的空間。要處理無(wú)限維的空間，必須把上述基的定義推廣為包括無(wú)限的基集合。如果向量空間V的一個(gè)子集 (有限或無(wú)限B滿足：

它的所有有限子集滿足上面的第一個(gè)條件（即線性無(wú)關(guān)）；

對(duì)任意，可以選擇，以及，使得。

就稱(chēng)B是無(wú)限維空間的一組基。

沒(méi)有裝備拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的向量空間的結(jié)構(gòu)不足以談?wù)撓蛄康臒o(wú)限和，因此上述定義只包括對(duì)有限個(gè)向量求和。

性質(zhì)設(shè)B是向量空間的子集。則B是基，當(dāng)且僅當(dāng)滿足了下列任一條件：

是B的極小生成集，就是說(shuō)只有B能生成，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。

B是中線性無(wú)關(guān)向量的極大集合，就是說(shuō)B在中是線性無(wú)關(guān)集合，而且中沒(méi)有其他線性無(wú)關(guān)集合包含它作為真子集。

中所有的向量都可以按唯一的方式表達(dá)為B中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個(gè)線性組合中的系數(shù)提供了這個(gè)向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)。

如果承認(rèn)良序定理或任何選擇公理的等價(jià)物，那么作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個(gè)向量空間的元素。建立不線性依賴(lài)于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過(guò)來(lái)也是真的。一個(gè)向量空間的所有基都擁有同樣的勢(shì)（元素個(gè)數(shù)），叫做這個(gè)向量空間的維度。這個(gè)結(jié)果叫做維度定理，它要求系統(tǒng)承認(rèn)嚴(yán)格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

例子考慮所有坐標(biāo) (a,b)的向量空間R，這里的a和b都是實(shí)數(shù)。則非常自然和簡(jiǎn)單的基就是向量e1= (1,0)和e2= (0,1):假設(shè)v= (a,b)是R中的向量，則v=a(1,0) +b(0,1)。而任何兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量如 (1,1)和(?1,2)，也形成R的一個(gè)基。

更一般的說(shuō)，給定自然數(shù)n。n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量e1,e2, ...,en可以在實(shí)數(shù)域上生成R。因此，它們也是的一個(gè)基而R的維度是n。這個(gè)基叫做R的標(biāo)準(zhǔn)基。

設(shè)V是由函數(shù)e和e生成的實(shí)數(shù)向量空間。這兩個(gè)函數(shù)是線性無(wú)關(guān)的，所有它們形成了V的基。

設(shè)R[x]指示所有實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的向量空間；則 (1, x, x, ...)是R[x]的基。R[x]的維度因此等于aleph-0。

基的擴(kuò)張如上所述，一個(gè)向量空間的每一組基都是一個(gè)極大的線性無(wú)關(guān)集合，同時(shí)也是極小的生成集合?？梢宰C明，如果向量空間擁有一組基，那么每個(gè)線性無(wú)關(guān)的子集都可以擴(kuò)張成一組基（也稱(chēng)為基的擴(kuò)充定理），每個(gè)能夠生成整個(gè)空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無(wú)關(guān)集合和任何生成集合之間有一組基。以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)：如果L是在向量空間中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)集合而集合G是一個(gè)包含L而且能夠生成的集合，則存在的一組基B，它包含了L而且是G的子集：。

以上兩個(gè)結(jié)論可以幫助證明一個(gè)集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個(gè)向量空間的維度，證明一個(gè)集合是它的基需要證明這個(gè)集合不僅是線性無(wú)關(guān)的，而且能夠生成整個(gè)空間。如果已知這個(gè)向量空間的維度（有限維），那么這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)必須等于維數(shù)，才可能是它的基。在兩者相等時(shí)，只需要證明這個(gè)集合線性無(wú)關(guān)，或這個(gè)集合能夠生成整個(gè)空間這兩者之一就夠了。這是因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)的子集必然能擴(kuò)充成基；而這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)已經(jīng)等于基的元素個(gè)數(shù)，需要添加的元素是0個(gè)。這說(shuō)明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個(gè)空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個(gè)子集是真子集，那幺元素個(gè)數(shù)必須少于原集合的元素個(gè)數(shù)。然而原集合的元素個(gè)數(shù)等于維數(shù)，也就是基的元素個(gè)數(shù)，這是矛盾的。這說(shuō)明原集合就是一組基。

有序基和坐標(biāo)基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素并不按照順序排列。為了更方便相關(guān)的討論，通常會(huì)將基向量進(jìn)行排列。比如說(shuō)將：寫(xiě)成有序向量組：。這樣的有序向量組稱(chēng)為有序基。在有限維向量空間和可數(shù)維數(shù)的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的數(shù)組表示，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)。例如，在使用向量的坐標(biāo)表示的時(shí)候習(xí)慣談?wù)摗暗谝粋€(gè)”或“第二個(gè)”坐標(biāo)，這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個(gè)意義下，有序基可以看作是向量空間的坐標(biāo)架。