[科普中國(guó)]-內(nèi)射模

定義

定義一：一個(gè)環(huán) 上的左模 若滿足以下等價(jià)條件，則稱之為內(nèi)射模：

(1) 若 是左 -模 的子模，則 存在另一個(gè)子模 使得 。

(2) 若 是單的左 -模映射， 是左 -模映射，則存在 -模映射 使得 。

(3) 任何短正合序列 都分裂。

(4) 函子 為正合函子。

定義二：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，E是一個(gè)R模。如果對(duì)于R模的任意單同態(tài)g： ，以及同態(tài) ，f可以擴(kuò)充為同態(tài) ，使得 ，那么稱E為內(nèi)射模。1

抽象地說(shuō)，內(nèi)射模乃是模范疇中的內(nèi)射對(duì)象。

**等價(jià)定義：**E是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)以E開(kāi)頭的短正合列 是可裂的。

性質(zhì)任意一個(gè)R模M都同構(gòu)于內(nèi)射模的子模，即有內(nèi)射模E和單同態(tài)： 。

特別地，若 是一個(gè)內(nèi)射模，則單同態(tài) 使得 是的直和項(xiàng)。

一個(gè)阿貝爾群Q稱為可除的，如果，方程在Q中有解。設(shè)R是一個(gè)環(huán)，Q是一個(gè)可除的阿貝爾群，那么是一個(gè)內(nèi)射R模。1

內(nèi)射模的直積（包括無(wú)窮直積）仍是內(nèi)射模，內(nèi)射模的有限直和仍為內(nèi)射模。一般而言，內(nèi)射模的子模、商?；驘o(wú)窮直和并不一定是內(nèi)射模。

Baer 在其論文中證明了一個(gè)有用的結(jié)果，通常稱作 Baer 判準(zhǔn)：一個(gè)左 R-模 Q 是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)定義在任一理想 I 上的態(tài)射 I→Q 都能延拓到整個(gè) R 上。

最重要的內(nèi)射模當(dāng)屬 Q/Z：它是 Z-模范疇中的內(nèi)射上生成元，換言之，這是內(nèi)射模，而且任何 Z-模皆可嵌入某個(gè) (Q/Z)a次方 中，其中 a 是夠大的基數(shù)。由此可知任何 Z-模皆可嵌入某個(gè)內(nèi)射 Z-模。此性質(zhì)對(duì)任意環(huán) R 上的左模都成立，要點(diǎn)在于利用 Q/Z 的特性構(gòu)造左 R-模范疇中的內(nèi)射上生成元。2