[科普中國]-保角映射

保角映射是復(fù)變函數(shù)最重要的概念之一，它可以將比較復(fù)雜的區(qū)域上的問題轉(zhuǎn)化到比較簡單的區(qū)域上進(jìn)行研究。成功地解決了流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科中的許多實(shí)際問題。

概念設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 且 ．過點(diǎn) 任意引一條有向光滑曲線 且 ，則曲線C在點(diǎn) 處的切線存在，其傾角為 ．

映射w=f(z)把z平面內(nèi)的曲線C映射成 平面內(nèi)過點(diǎn) 的一條有向光滑曲線

由于 ．故曲線 在點(diǎn) 處切線存在．其傾角為

上式表明，象曲線 在 的切線方向可由曲線C在 處的切線方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 得出．稱 為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 處的旋轉(zhuǎn)角．顯然， 只與 有關(guān)，與過點(diǎn) 的曲線C的形狀無關(guān)，這一性質(zhì)稱為旋轉(zhuǎn)角的不變性．

由于映射w=f(z)使所有經(jīng)過點(diǎn) 的曲線都旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度，所以相交于點(diǎn) 的任意兩條曲線 和 的夾角，其大小和方向都等于映射后的象曲線 和 的夾角，如圖1所示，這一性質(zhì)稱為保角性．

假設(shè) ，則 ，于是

上式表明在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)自變量改變量的模 和函數(shù)值改變量的模 在忽略高階無窮小的情況下有關(guān)系式 ，即在點(diǎn) 附近象曲線伸長到原象曲線的R倍。R反映了在映射w=f(z)下，z平面上C曲線在點(diǎn) 處弧長的伸縮率，這是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義；并且伸縮率 ，它僅與點(diǎn) 有關(guān)，而與過點(diǎn) 的曲線C的形狀、方向無關(guān)，這一性質(zhì)稱為伸縮率的不變性，

綜上所述，可得定理1，

定理1： 設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 為D內(nèi)的一點(diǎn)，且 ，則映射w=f(z)在點(diǎn) 處具有：

(1)保角性，即過點(diǎn) 的兩條曲線問的夾角與映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變；

(2)伸縮率不變性，即通過點(diǎn) 的任何一條曲線的伸縮率均為 ，而與曲線的形狀和方向無關(guān)。

若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn) 處具有：

(1)保角性：

(2)伸縮率的不變性；

則稱映射w=f(x)在點(diǎn) 處是保角的。

若映射w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都是保角的，則稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的保角映射。

可知，若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且對任意點(diǎn) ，有 ，則w=f(z)在D內(nèi)是保角映射。1

幾種簡單的保角映射1．分式線性映射

定義： 形如

的映射稱為分式線性映射．其中a、b、c、d是復(fù)常數(shù)．而且 .

當(dāng)c=0時(shí)， ．

當(dāng) 時(shí)， ．

分式線性映射可以分解為如下基本形式的映射：

因此，分式線性映射可以看作是 和 兩種映射的復(fù)合．

例如，z平面上以 為頂點(diǎn)的長方形，經(jīng)過保角映射

變換成 平面上以2-i，3，i，1+2i為頂點(diǎn)的長方形，其變換過程如圖2所示.

可見，整式線性映射是不改變圖形相似形狀的變換，它在整個(gè)復(fù)平面上是處處保角、一一對應(yīng)的．又由于該映射能把z平面上的圓周映射成訓(xùn)平面上的圓周，所以這一性質(zhì)稱為整式線性映射的保圓性．

映射 稱為倒數(shù)映射，它也是保角映射．

2．指數(shù)函數(shù) 所確定的映射

由于 在復(fù)平面內(nèi)處處解析，且 ，所以指數(shù)函數(shù) 所確定的映射是保角映射．

又由于 以 為周期，所以只需討論當(dāng)z在由 所定義的帶形區(qū)域B中變化時(shí)，函數(shù) 的映射性質(zhì)．

設(shè) 的實(shí)部及虛部分別為u及v，在帶形區(qū)域B中，z從左向右描出一條直線 ，如圖3所示，則 ，于是 從0(不包括0)增大到 ．而 保持不變。所以， 描出一條射線 (不包括0)，如圖3(b))所示。

指數(shù)函數(shù) 確定了從帶形區(qū)域B： 到 平面除去原點(diǎn)和正實(shí)軸的保角映射．可見 將 保角映射為上半平面 ；而把 保角映射為下半平面 ．

映射 的特點(diǎn)是：將擴(kuò)充z平面上的水平帶形區(qū)域 映射成擴(kuò)充 平面的角形區(qū)域 ( 時(shí)，此角形區(qū)域?yàn)樯习肫矫?．1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)