[科普中國]-默比烏斯函數(shù)

定義

默比烏斯函數(shù)或繆比烏斯函數(shù)是指以下的函數(shù)1：

|| ||

μ(n)的首25個(gè)值（OEIS中的數(shù)列A008683）：1, ?1, ?1, 0, ?1, 1, ?1, 0, 0, 1, ?1, 0, ?1, 1, 1, 0, ?1, 0, ?1, 0, 1, 1, ?1, 0, 0, ...

μ(n) ——默比烏斯函數(shù)，關(guān)于非平方數(shù)的質(zhì)因子數(shù)目。

莫比烏斯函數(shù)完整定義的通俗表達(dá)：

1）莫比烏斯函數(shù)μ(n)的定義域是N；

2）μ(1)=1；

3）當(dāng)n存在平方因子時(shí)，μ(n)=0；

4）當(dāng)n是素?cái)?shù)或奇數(shù)個(gè)不同素?cái)?shù)之積時(shí)，μ(n)=-1；

5）當(dāng)n是偶數(shù)個(gè)不同素?cái)?shù)之積時(shí)，μ(n)=1。

性質(zhì)性質(zhì)1莫比烏斯函數(shù)是一個(gè)數(shù)論函數(shù)，它是一個(gè)積性函數(shù)。

證明：

①當(dāng) n=1時(shí)顯然；

②當(dāng)n 0時(shí)，將n分解可以得到 ；

在n的所有因子中， 值不為零的只有所有質(zhì)因子次數(shù)都為1的因子，其中質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)為r個(gè)的因子有 個(gè)

那么顯然有：

性質(zhì)2對任意正整數(shù)n有：

證明：

只需要令 ，代入莫比烏斯反演的公式即可

與其他函數(shù)的關(guān)系1.梅滕斯函數(shù)莫比烏斯函數(shù)的求和函數(shù)，被稱為梅滕斯函數(shù)，

2.生成函數(shù)莫比烏斯函數(shù)有多個(gè)生成函數(shù)，其中一個(gè)與黎曼的ζ(s)有關(guān)：

3.無窮級函數(shù)以下是關(guān)于莫比烏斯函數(shù)的一些無窮級數(shù)2：

1）

2）

3）

相關(guān)知識默比烏斯變換；

梅滕斯函數(shù)；

默比烏斯反演。