[科普中國(guó)]-斜坐標(biāo)系

基本介紹定義

所謂斜坐標(biāo)系就是以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線矢量 、 所在的直線為 軸、 軸，建立如圖（1）所示的斜坐標(biāo)系 ，

其中矢量 稱為該斜坐標(biāo)系的單位矢量，它們的夾角 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由平面矢量基本定理可知：對(duì)于該平面內(nèi)任意給定的矢量 可以表示為單位矢量 的線性疊加，而且這種表達(dá)式是唯一的，即

為了表述方便，這里有序?qū)崝?shù)對(duì) 被分別定義為矢量 在斜坐標(biāo)軸的坐標(biāo)，也可以稱作是該矢量在兩坐標(biāo)軸上的投影。

相關(guān)性質(zhì)和直角坐標(biāo)系一樣，矢量在斜坐標(biāo)系中同樣具有如下主要性質(zhì)：

**性質(zhì)1：**在如圖1所示的斜坐標(biāo)系中，點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)分別表示為（0，0）；（1，0）；（0，1）。

**性質(zhì)2：**由矢量平行四邊形法則可知：任意矢量 都可以沿坐標(biāo)軸分解為 ，且 與P的坐標(biāo) 和單位矢量 滿足關(guān)系式 。

斜坐標(biāo)系使用方法和注意事項(xiàng)首先，應(yīng)該根據(jù)物理問(wèn)題情境，尤其是根據(jù)初始條件建立恰當(dāng)?shù)男弊鴺?biāo)系。我們必須清楚：利用直角坐標(biāo)系主要是為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)處理過(guò)程；而斜坐標(biāo)系主要是為簡(jiǎn)化物理過(guò)程而引入的，例如在處理質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，雖說(shuō)斜坐標(biāo)系有時(shí)會(huì)獲得一舉雙得的效果，既能直接還原物理本質(zhì)，又能簡(jiǎn)化問(wèn)題處理過(guò)程； 但是在具體使用時(shí)，必須知道斜坐標(biāo)系的使用方法和注意事項(xiàng)，其中每一條軸盡可能代表質(zhì)點(diǎn)的某一具體的運(yùn)動(dòng)形式，例如勻速直線運(yùn)動(dòng)，自由落體運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)等。其次，在斜坐標(biāo)系中，不同軸所代表的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形式是相互獨(dú)立的。最后，在斜坐標(biāo)系中，不但質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)的合成與分解，而且矢量的運(yùn)算法則均和直角坐標(biāo)系中的情形完全一樣，比如平行四邊形法則；三角形法則；正玄定理和余弦定理等。1

斜坐標(biāo)系應(yīng)用舉例下面我們通過(guò)具體實(shí)例來(lái)體會(huì)利用斜坐標(biāo)系處理部分質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)中的優(yōu)勢(shì)。

**實(shí)例：**如圖2所示，在傾角 為的斜坡坡底處，以初速度 、與斜面夾角為 的方向拋射物體，求物體在斜面上的射程。

為了集中體現(xiàn)斜坐標(biāo)系在處理類似問(wèn)題中的作用，我們不妨用直角坐標(biāo)系的和斜坐標(biāo)系兩種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

**解： （****斜坐標(biāo)系法）**我們可以以拋出時(shí)為初始時(shí)刻建立如圖3所示的二維斜坐標(biāo)系，其中軸的方向與方向一致，軸與重力加速度的方向一致。在該斜坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)是由沿方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿重力方向的自由落體運(yùn)動(dòng)合成的。

如圖3所示，設(shè)物體在斜面上的射程為OA,從拋出點(diǎn)o開始，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，物體落到斜面上A點(diǎn)。在軸，物體發(fā)生的位移為：

在y軸，時(shí)間t物體走過(guò)的位移為：

通過(guò)位移矢量三角形可以求解物體在斜面上的射程OA.具體如下：

在中，由幾何關(guān)系可知，

由正弦定理可知：

即：

由首末兩項(xiàng)可求得時(shí)間：

把（3）式代入（2）中，再次利用（2）式的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，可以解出物體在斜面上的射程

斜坐標(biāo)系最明顯的特點(diǎn)是每一個(gè)坐標(biāo)軸代表質(zhì)點(diǎn)的最基本的運(yùn)動(dòng)形式，例如勻速直線運(yùn)動(dòng)，自由落體運(yùn)動(dòng)等；其次，該方法充分利用矢量性質(zhì)和數(shù)學(xué)定理?；谶@些，斜坐標(biāo)系法具有計(jì)算簡(jiǎn)單，理解容易，過(guò)程直接等特點(diǎn)。

評(píng)析： 在質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)教學(xué)中，斜坐標(biāo)系處理方法的作用不僅僅局限于上述情形，上面的例子只是窺豹一斑，掛一漏萬(wàn)，不足以說(shuō)明教學(xué)的全部，但是通過(guò)前述實(shí)例可以看出有時(shí)采用斜坐標(biāo)系可以實(shí)現(xiàn)如下主要教學(xué)效果。

1. 在質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)中，適時(shí)巧妙的引入斜坐標(biāo)系有利于簡(jiǎn)化物理過(guò)程斜坐標(biāo)系相比直角坐標(biāo)系沒(méi)有本質(zhì)上的不同，只是在處理質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，斜坐標(biāo)系在對(duì)運(yùn)動(dòng)分解后的運(yùn)動(dòng)形式更為直接、簡(jiǎn)單。從例子可以看出來(lái)，在斜坐標(biāo)系中，可以把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為最簡(jiǎn)單的勻速直線運(yùn)動(dòng)和最基本的初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；而在直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分運(yùn)動(dòng)依然是初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，這樣一來(lái)，斜坐標(biāo)系方法可以大大簡(jiǎn)化處理過(guò)程。

2. 有時(shí)利用斜坐標(biāo)系處理問(wèn)題，有利于加深對(duì)矢量的性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理的理解和運(yùn)用在用斜坐標(biāo)系方法處理運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)矢量的平移不變性這一性質(zhì)有較深的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)依據(jù)平移不變性，要具備善于巧妙構(gòu)建矢量三角形的能力；此外，從數(shù)學(xué)角度而言，要求能熟練地運(yùn)用正弦定理處理物理問(wèn)題，所有這些要求無(wú)疑會(huì)提高解決物理問(wèn)題的綜合素質(zhì)。

3. 斜坐標(biāo)系方法的引入有利于培養(yǎng)的創(chuàng)新思維。面對(duì)質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，絕大部分人習(xí)慣于、甚至依賴于直角坐標(biāo)系（這當(dāng)然不失為一種方法），如果能根據(jù)實(shí)際巧妙的引入斜坐標(biāo)系，這種另辟蹊徑的方法定會(huì)使思維耳目一新、面對(duì)新的物理問(wèn)題情境會(huì)變得豁然開朗、迎刃而解；潛移默化中，創(chuàng)新思維會(huì)得到極大地鍛煉和提升。1