[科普中國]-主效應(yīng)

基本介紹

在有一個或幾個因子(自變量)的多水平的實驗中，描述一個因子在各水平上對反應(yīng)量(因變量)影響大小的度量。對有S個水平的單因子A的試驗，若隨機(jī)變量 是在第 次試驗中于第 個水平上的觀測值，則模型為

這里E是期望， 是總平均， 即A因子第 個水平的主效應(yīng)。應(yīng)當(dāng)注意的是，由于它在平均意義上進(jìn)行估算，所以即使一個主效應(yīng)的值比較小，也不表明該因子不重要；同時，在交互作用顯著的情況下，對主效應(yīng)的直觀解釋可能會發(fā)生誤解。在有的實驗研究中，主效應(yīng)并不一定比交互作用更為重要。在實驗設(shè)計中，只有主效應(yīng)而不考慮交互效應(yīng)的模型，稱為可加性模型，這在區(qū)組設(shè)計中常常使用。1

主效應(yīng)與交互作用因素的主效應(yīng)和因素之間的交互作用是析因試驗設(shè)計中的兩個基本概念。考慮兩個2水平因素的析因試驗，設(shè)因素A的兩個水平為 和 ，因素B的兩個水平為 ，它們的所有可能的水平組合為 ，如表1(0)所示，稱其為22析因試驗。這里約定， 既代表因素水平組合或處理，又表示在這種因素水平組合或處理下的指標(biāo)真值或響應(yīng)值。因素主效應(yīng)反映因素對指標(biāo)的影響大小，常用其響應(yīng)值的改變量來表示。在22析因試驗中，對于因素A，當(dāng)因素B取B1時，A從A1變?yōu)锳2所引起的響應(yīng)值的變化為 ；當(dāng)因素B取B2時，A從A1變?yōu)锳2所引起的響應(yīng)值的變化為 。這兩個響應(yīng)值的改變量稱為4的兩個簡單效應(yīng)。因素****的簡單效應(yīng)描述了其它因素固定情況下這個因素對指標(biāo)的影響大小。因素A的主效應(yīng)自然應(yīng)定義為A的兩個簡單效應(yīng)的平均值。它也可表示為A取A1時響應(yīng)的平均值 與A取A2時響應(yīng)的平均值 之差。因素A的主效應(yīng)常用同一大寫字母4表示，于是

類似可定義因素B的主效應(yīng)為

表1(I)、(Ⅱ)是兩個22析因試驗的數(shù)字例子。由上述定義可知，對于(I)，

對于(Ⅱ)，

|| || 表3

因素間的交互作用是指因素之間的一種搭配作用。在22析因試驗中，如果因素A在兩個水平上的響應(yīng)值的改變量，不管因素B的水平如何都是一樣的，即A對指標(biāo)的影響與B取什么水平無關(guān)，那么我們就說因素A與B之間沒有交互作用或A與B之間的交互作用為零，如果因素A在兩個水平上的響應(yīng)值的改變量隨著因素B的水平不同而不一樣，即A對指標(biāo)的影響取決于B取什么水平，那么我們就說因素A與B之間存在交互作用，其大小通常用因素B取B2時A從A1變?yōu)锳2所引起的響應(yīng)值的改變量 減去因素B取B1時A從A1變?yōu)锳2所引起的響應(yīng)值的改變量再除以2來表示。因素A與B的交互作用記為A×B，或簡記為AB。于是

即它也等于A與B都取第1水平和第2水平時的響應(yīng)值的和與A或B只取第1水平或第2水平時的響應(yīng)值的和之差的一半。按此定義，對于表1中的(I)，有A×B=0，對于表1中的(Ⅱ)，有A×B=-29，這說明表1(I)中的兩個因素沒有交互作用，而表1(Ⅱ)中的兩個因素有交互作用。它們可分別畫出如圖1(a)、(b)所示的圖形。從圖上看出，沒有交互作用畫出的兩條直線是平行的，有交互作用畫出的兩條直線是相交的。2

主效應(yīng)和交互作用統(tǒng)稱為析因效應(yīng)或簡稱效應(yīng)。在分析時它們需要同時加以考慮。當(dāng)因素之間的交互作用很小時，各個因素對指標(biāo)的影響可以看作是相互獨立的，一個因素對指標(biāo)影響的大小用該因素的主效應(yīng)表示。當(dāng)因素之間的交互作用很大時，各個因素的主效應(yīng)意義就不大了。例如，在表1(Ⅱ)的例中，前已算出因素A的主效應(yīng)A=1，相對說來是比較小的，但我們不能輕易就說因素A對指標(biāo)的影響不大。因為因素A與B的交互作甩A×B=-29，其絕對值相當(dāng)大。這表明因素A對指標(biāo)有影響，只是這種影響與因素B的水平有關(guān)。交互作用提供的信息有時比主效應(yīng)的更有用。大的交互作用往往掩蓋住了主效應(yīng)的真實情況。表1(Ⅱ)的例子說明了這點。在交互作用比較大的場合，要對一個因素作出推斷，試驗者必須考察這個因素的各個水平與另一個因素的各個水平的種種搭配情況下的表現(xiàn)，加以比較后再作結(jié)論。

多因素析因試驗較之傳統(tǒng)的每次試驗一個因素的多因素試驗方法有著明顯的優(yōu)點。首先，多因素析因試驗不僅能考察各因素的主效應(yīng)，還能分析因素之間的交互作用。它不象每次一個因素的試驗只能考察各個因素的單獨影響，因而析因試驗所得結(jié)論一般說來比每次一個因素的試驗更符合實際。例如，在一項兩個2水平因素的試驗中，假如每次一個因素的試驗顯示出A1B2比A1B1好，A2B1比A1B1好， 那么一個自然的推論應(yīng)是A2B2會更好。然而，當(dāng)因素之間存在交互作用時，這個結(jié)論可能是完全錯誤的。表1(Ⅱ)的數(shù)字例子就屬于這種情況。其次，由于析因試驗的全部觀測值能一起用來分析各個因素對指標(biāo)的影響，而每次一個因素的試驗只能用一個因素的試驗結(jié)果單獨分析這個因素的作用，所以要達(dá)到同樣的分析精度，每次一個因素的試驗所需要的試驗次數(shù)一般比析因試驗的多，即析因試驗更有效。例如，在一項兩個2水平因素試驗中，每次一個因素進(jìn)行試驗，因素A的一個簡單效應(yīng)為A2B1-A1B1，因素B的一個簡單效應(yīng)為A1B2 -A1B1。因為試驗存在誤差，為了能用觀測到的簡單效應(yīng)的平均值估計兩個因素的效應(yīng)，每種處理必須進(jìn)行(比如說)兩次試驗。這時共需作6次試驗。但若施行析因試驗，則只需增加一個試驗A2B2，即可求得因素A的兩個效應(yīng)A2B1-A1B1，A2B2-A1B2的估計以及B的兩個簡單效應(yīng)A1B2-A1B1，A2B2-A2B1的估計，分別加以平均就可求得A與B的主效應(yīng)的估計?？梢宰C明，這樣兩種試驗的精度是一致的。但這時的析因試驗只要作4次試驗。再者，由于析因試驗考察一個因素時是在其它因素的不同水平上進(jìn)行的，因而所得結(jié)論能用于比較廣泛的試驗條件。析因試驗的主要缺點是，當(dāng)考察的因素比較多時，所需要的試驗次數(shù)太多。例如，10個2水平因素的析因試驗的所有可能的水平組合有210=1024，7個3水平因素的析因試驗的所有可能的水平組合有37=2181等。與此有關(guān)的是試驗太多就很難保持試驗環(huán)境的一致。為了克服析因試驗的這些困難，統(tǒng)計學(xué)家已成功地研究出了一套諸如部分析因試驗、混雜法和強(qiáng)調(diào)效率的多因素試驗方法。2