[科普中國]-模論

學(xué)科發(fā)展

模論是抽象代數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，主要研究環(huán)上的模。模的概念本質(zhì)上是域上向量空間的直接推廣。

早在19世紀(jì)，狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.)就曾經(jīng)考慮過多項(xiàng)式環(huán)上的模。

20世紀(jì)20年代，諾特(Noether,E.)曾一再提出過模的重要作用，交換環(huán)上的模在代數(shù)幾何中有重要作用。交換環(huán)上的模在代數(shù)幾何中有重要作用，域上的模就是向量空間。

到了20世紀(jì)40年代，由于環(huán)論的需要和同調(diào)代數(shù)的興起，模論得到了進(jìn)一步發(fā)展。

近30年來，已成為同調(diào)代數(shù)、群論、環(huán)論、代數(shù)K理論、范疇論等分支學(xué)科研究中不可缺少的工具，并在其他數(shù)學(xué)分支，如代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、泛函數(shù)分析甚至微分方程等領(lǐng)域里得到了較廣泛的應(yīng)用。

現(xiàn)代模論已成為內(nèi)容豐富、文獻(xiàn)浩繁的代數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支1。

概括介紹模是線性空間的推廣，把線性空間的定義中的域放寬成環(huán)，就得到模的概念，這意味著模中有“加法”和“數(shù)乘”兩種運(yùn)算，環(huán)與域的最大不同在于兩點(diǎn)：一是環(huán)里有些元素不可逆，一是環(huán)的乘法不一定滿足交換律，這既使得模所包含的對象比線性空間廣泛得多，又使得模需要區(qū)分左模和右模，模是近代代數(shù)學(xué)的最基本的概念之一，模的理論在許多代數(shù)分支內(nèi)都有重要應(yīng)用。

模論是抽象代數(shù)的基本而重要的部分，與代數(shù)的許多分支有著密切的聯(lián)系。是群論、環(huán)論相當(dāng)重要的工具，同時(shí)也是同調(diào)代數(shù)、范疇理論以及代數(shù)拓?fù)涞睦碚摶A(chǔ)。作為一門課程, 模論已被列入數(shù)學(xué)系本科生代數(shù)選修課的首選課程之一。它與數(shù)學(xué)系兩門必修的代數(shù)課程—高等代數(shù)、近似代數(shù)的聯(lián)系相當(dāng)密切。一方面，它以高等代數(shù)與近似代數(shù)的理論、方法作為全面的必要的基礎(chǔ)，另一方面，又使得這些理論與方法得到充分的應(yīng)用、補(bǔ)充和深化。一個(gè)最經(jīng)典的例子就是模論把域上的有限維向量空間的理論相當(dāng)完美地推廣到主理想整環(huán)的情形, 建立了主理想整環(huán)上的有限生成模的理論。因此，無論是大學(xué)、?？七€是大學(xué)本科數(shù)學(xué)系的代數(shù)老師，模論知識(shí)就成為必備的修養(yǎng)。

模的基本理論包括模的定義，還有模論中的一些基本概念，像其他代數(shù)系統(tǒng)一 樣， 為了對模進(jìn)行深入系統(tǒng) 的研究, 必須建立一系列至關(guān)重要的概念。 這些概念構(gòu)成了模論的骨架。我們有子模、商模、循環(huán)模、有限生成模、 單模等概念。 為了研究模與模之間的關(guān)系，我們有模的同態(tài)、同構(gòu)、同態(tài)的核、 同態(tài)的像等概念，這 些概念同群論中相應(yīng)的概念是基本類似的。要特別敘述 一 下的是正合列， 這 個(gè)概念在模論的研究中起著最基礎(chǔ)的作用。 設(shè) 為一個(gè)序列， 為模同態(tài)，如果 則稱該序列為一個(gè)正合列。

為了研究模，人們已建立了一整套完備的模論基本定理。這些基本定理成為研究模的基本工具，也構(gòu)成了模論最基礎(chǔ)的部分。有模同態(tài)基本理論、三 個(gè)同構(gòu)定理：第一同構(gòu)定理、第二同構(gòu)定理、第三同構(gòu)定理、Jordan-jolder定理、模的升鏈條件和降鏈條件等等2。

模論在環(huán)的研究中的應(yīng)用在經(jīng)典環(huán)論中，人們往往是利用環(huán)的各種根， 如 Jacobson 根、Baer根、Koethe 根、Levitzki根、Brown-McCoy根等和環(huán)的理想的性質(zhì)，如諧零性、冪零性等以及環(huán)的鏈條件(升鏈和降鏈條件)來研究環(huán)的。這些方法對環(huán)論的研究起了非常重要的作用。 但自從模論引進(jìn)環(huán)的研究后, 環(huán)論的研究就呈現(xiàn)出非常生機(jī)的景象。利用模來研究環(huán)，從最原始的角度來講，也是非常自然的。 因?yàn)榄h(huán)R上的一個(gè)模M實(shí)質(zhì)上就是環(huán)的一 個(gè)表示。環(huán)的各種表示 的全體必然攜帶著環(huán)的各種信息。 我們知道，一個(gè)環(huán) R 上的所有表示或所有模構(gòu)成一 個(gè)Abel范疇。這就使得我們 自然地利用范疇論的思想來研究環(huán)論。重要知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)重要的函子：Hom和⊕；幾種重要的模類：自由摸、投射模、內(nèi)射模、平坦模；重要的模論刻畫等2。