[科普中國(guó)]-互反函數(shù)

基本介紹

在數(shù)學(xué)中，有好些運(yùn)算是互逆的。加和減，乘和除，乘方和開方，都屬于這一類。一個(gè)自變數(shù)x，在經(jīng)過一種運(yùn)算之后得到y(tǒng)，再對(duì)這y進(jìn)行相應(yīng)的逆運(yùn)算，結(jié)果是仍回到x。例如，以a乘x，得y =ax，將這y除以a，又得x，又如，將x平方，得再對(duì)y開平方，又得x。今以表示前一運(yùn)算，以表示其逆運(yùn)算，則上述關(guān)系可表示如下：

將寫在后的方括號(hào)內(nèi)，就表示內(nèi)的那個(gè)變數(shù)y當(dāng)用代入。例如，它們就符合上述條件，理由是:

從的組成上看，它也是一種復(fù)合函數(shù)。對(duì)式(1)兩側(cè)求導(dǎo)，當(dāng)有:

式中：——對(duì)y的導(dǎo)數(shù)；

——對(duì)x的導(dǎo)數(shù)；

1——x對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。

在式(1)中，一個(gè)運(yùn)算是用將x變成y，另一個(gè)運(yùn)算是用將y變成x，在這條件下，和實(shí)際上是同一個(gè)方程，它們的圖形也是同一條曲線。以和為例，將后一式平方，得移除作乘，就得前一式。由此可見，若某個(gè)方程按對(duì)y求導(dǎo)要比對(duì)x求導(dǎo)方便，其切線的斜率y' (式(2)中的) 也可用x' (式(2)中的) 的倒數(shù)表示；即：

例如，所給的式子是則于是，

若將代人，。而在將化為再求導(dǎo)時(shí)，結(jié)果是相符的。但用式(B)來表示y'，時(shí)常較為簡(jiǎn)捷。

既然和在圖上是同一條線，那就容易混淆。又因是表示將作為內(nèi)的變數(shù)代人，至于內(nèi)的變數(shù)原先是用什么字母來代表，那卻沒有多大關(guān)系。因此，常改作這也就是將原給的內(nèi)的x和y對(duì)換，而后變形為。這樣的和就叫互反函數(shù)2。

冪函數(shù)的反函數(shù)利用互反函數(shù)的這一對(duì)稱性質(zhì)來看冪函數(shù)，將見：

(1) 每一個(gè)冪函數(shù)的反函數(shù)仍是一個(gè)冪函數(shù)，因此，冪函數(shù)組成一個(gè)自反的函數(shù)族。這就是說，的反函數(shù)是(且后式也可寫作)，而它們都是冪函數(shù)。

(2)指數(shù)是真分?jǐn)?shù)的冪函數(shù)，它的反函數(shù)(也是冪函的指數(shù)就大于1(是原來那個(gè)真分?jǐn)?shù)的倒數(shù))。由于指數(shù)大于1的冪函數(shù)的描點(diǎn)制圖較易進(jìn)行，可以先將反函數(shù)圖形作出，再利用原函數(shù)和反函數(shù)對(duì)直線的對(duì)稱，原函數(shù)作出2。