[科普中國(guó)]-角動(dòng)量算符

簡(jiǎn)介

角動(dòng)量促使在旋轉(zhuǎn)方面的運(yùn)動(dòng)得以數(shù)量化。在孤立系統(tǒng)里，如同能量和動(dòng)量，角動(dòng)量是守恒的。在量子力學(xué)里，角動(dòng)量算符的概念是必要的，因?yàn)榻莿?dòng)量的計(jì)算實(shí)現(xiàn)于描述量子系統(tǒng)的波函數(shù)，而不是經(jīng)典地實(shí)現(xiàn)于一點(diǎn)或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對(duì)象都是以波函數(shù)或量子幅來描述其概率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

數(shù)學(xué)定義在經(jīng)典力學(xué)里，角動(dòng)量 定義為位置 與動(dòng)量的叉積：

。

在量子力學(xué)里，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量算符 定義為位置算符與動(dòng)量算符的叉積：

。

由于動(dòng)量算符的形式為

。

角動(dòng)量算符的形式為

。

其中，是梯度算符。

厄米算符在量子力學(xué)里，每一個(gè)可觀察量所對(duì)應(yīng)的算符都是厄米算符。角動(dòng)量是一個(gè)可觀察量，所以，角動(dòng)量算符應(yīng)該也是厄米算符。讓我們現(xiàn)在證明這一點(diǎn)，思考角動(dòng)量算符的 x-分量 ：

。

其伴隨算符 為

。

由于 ，都是厄米算符，

。

由于 與 之間、 與 之間分別相互對(duì)易，所以，

。

因此，是一個(gè)厄米算符。類似地， 與都是厄米算符?？偨Y(jié)，角動(dòng)量算符是厄米算符。

再思考算符，

。

其伴隨算符為

。

由于 算符、 算符、算符，都是厄米算符，

。

所以， 算符是厄米算符。

對(duì)易關(guān)系兩個(gè)算符的交換算符，表示出它們之間的對(duì)易關(guān)系。

（1）角動(dòng)量算符與自己的對(duì)易關(guān)系

思考 的交換算符，

。

由于兩者的對(duì)易關(guān)系不等于 0 ，與 彼此是不相容可觀察量。絕對(duì)不會(huì)有共同的基底量子態(tài)。一般而言， 的本征態(tài)與的本征態(tài)不同。

（2）哈密頓算符與角動(dòng)量算符之間的對(duì)易關(guān)系

思考哈密頓算符與的交換算符，

，

與是對(duì)易的， 與 彼此是相容可觀察量，兩個(gè)算符擁有共同的本征態(tài)。根據(jù)不確定性原理，我們可以同時(shí)地測(cè)量到與的同樣的本征值。

（3）在經(jīng)典力學(xué)里的對(duì)易關(guān)系

在經(jīng)典力學(xué)里，角動(dòng)量算符也遵守類似的對(duì)易關(guān)系：

；

其中，是泊松括號(hào)，是列維-奇維塔符號(hào)，，代表直角坐標(biāo)。

參閱讀物氫原子

球?qū)ΨQ位勢(shì)

拉普拉斯-龍格-楞次矢量