[科普中國(guó)]-動(dòng)量算符

概念

微觀粒子的動(dòng)量為 ，其中， 為其分量。在量子力學(xué)中，我們對(duì)粒子的動(dòng)量進(jìn)行量子化，用動(dòng)量算符表達(dá)粒子的動(dòng)量，即

這等效于動(dòng)量分量的量子化：

而動(dòng)量的分量算符為

則動(dòng)量的矢量算符為

1

動(dòng)量算符的本征方程對(duì)于動(dòng)量算符 ，其本征方程為

類似于對(duì)位置算符本征方程的分離變量處理，我們對(duì)動(dòng)量算符的本征方程也進(jìn)行分離變量。令本征值為

屬于該本征值的本征態(tài)為

將式、式和式代人式，我們獲得動(dòng)量的各分量算符的本征方程

注意到式中動(dòng)量分量算符的數(shù)學(xué)形式，各分量算符的本征方程又可改寫成

對(duì)上式中的每個(gè)分量方程進(jìn)行積分運(yùn)算，可得動(dòng)量算符的三個(gè)分量算符的本征態(tài)

式中 和 為待定的積分常量。于是動(dòng)量算符 的本征態(tài)為

式中 為歸一化常數(shù)。顯然，動(dòng)量算符的本征態(tài)是平面波，本征值連續(xù)取值，構(gòu)成連續(xù)譜。1

動(dòng)量本征波函數(shù)的“歸一化”按波函數(shù)的歸一化思想，我們對(duì) 作內(nèi)積運(yùn)算

內(nèi)積的結(jié)果是動(dòng)量本征波函數(shù)不能被歸一化。上述的積分在通常的意義下是發(fā)散的，這一情況在量子理論中對(duì)連續(xù)譜的情形具有普遍性：連續(xù)譜的本征態(tài)不是平方可積的。

實(shí)際上，在通常意義下連續(xù)譜的本征態(tài)不能歸一化到1，而是歸一化成 函數(shù)。這是因?yàn)檫B續(xù)譜的本征函數(shù)滿足以下的積分：

通過(guò)稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理，可知

于是

1

坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易式將坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符代入算符的對(duì)易式中：

然后，將上式作用到一個(gè)任意的態(tài)矢 上：

由于 是任意的態(tài)矢，故恒有

類似的，我們還可以得到

上面對(duì)易式可統(tǒng)一寫成

其中

必須指出，在量子理論中許多力學(xué)量的算符都是由坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符組合而成。于是，許多不同的力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系也都涉及 這一對(duì)易式。所以，微觀粒子的坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易式是量子理論中最基本和最重要的對(duì)易式。1

動(dòng)量算符的物理意義現(xiàn)在我們來(lái)說(shuō)明動(dòng)量算符的物理意義．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以只考慮一維運(yùn)動(dòng)．設(shè)整個(gè)系統(tǒng)沿x方向平移一段小距離a（如下圖）．這時(shí)原來(lái)的態(tài) 變成了另一個(gè)態(tài) ．兩個(gè)態(tài)之間顯然有下面的關(guān)系：

因?yàn)榫嚯xa很小，可以作泰勒展開：

在a是無(wú)窮小的情況下，精確到一級(jí)項(xiàng) ，有

狀態(tài) 平移后變?yōu)榱硪粋€(gè)態(tài)．根據(jù)算符的定義，這個(gè)新態(tài)等于某個(gè)算符作用在原來(lái)態(tài)上的結(jié)果．這個(gè)算符可以用動(dòng)量算符表達(dá)出來(lái)，即為 ．特別在無(wú)窮小移動(dòng)的情況下，動(dòng)量算符純粹反映了系統(tǒng)空間平移的特性，所以有時(shí)也稱它為平移無(wú)窮小算符．這種看法和經(jīng)典力學(xué)里理解動(dòng)量的精神是一致的．在經(jīng)典力學(xué)里，動(dòng)量是反映粒子空間位置變化的趨勢(shì)或能力的．

推廣到三維空間，狀態(tài) 經(jīng)平移矢量a后變?yōu)?/p>

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