[科普中國]-重整化群

概念

重整化群是一個在不同長度標度下考察物理系統(tǒng)變化的數(shù)學工具。標度上的變化稱為“標度變換”。重整化群與“標度不變性”和“共形不變性”的關系較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統(tǒng)在某一個標度上自相似于一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統(tǒng)的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統(tǒng)的變量是以系統(tǒng)組成之間的相互作用來描述。

基本原理以量子電動力學為例。利用Feynman展開的微擾論方法，我們計算一個物理量，比如電子之間的散射率，會得到一個按照耦合常數(shù) 展開的級數(shù)，每一項的系數(shù)是粒子動量 的積分式。這樣的積分式會出現(xiàn)紫外發(fā)散，即 允許的取值可以到無窮大時，系數(shù)趨向于正或負無窮，這使得整個理論失去意義。

為了克服這一困難，人們引入了重整化方法。用這個方法，我們首先對所有的積分作紫外截斷，從而得到有限結果。顯然，這樣得到的展開系數(shù)將與截斷有關。但是，在連續(xù)場論中這個截斷是人為引入的，物理上并不存在。為了解決這個問題，對于任意，我們要求可以重新定義一個相應的耦合常數(shù)，使得計算最后給出的物理量與無關。在量子電動力學和其他可重整的理論中，這是可以做到的。換句話說，對于微擾展開的任意級次，可以定義該系統(tǒng)的一系列和截斷相關的參數(shù)，使得系統(tǒng)在動量遠小于時的物理性質和無關。由于實際的最后要取為無窮大，也就是說，系統(tǒng)在任意有限動量上的物理性質和無關，于是，我們要求理論具有這樣的不變性：當改變一個比例時，耦合常數(shù)將作相應的變化，而最后給出的結果將是與無關的。這也就導致了重整化群的想法。也就是說，對于改變一個比例這種變換的全體有一個類似群的結構，即滿足組合律；先改變比例為，再接著改變比例為得到的耦合常數(shù)等于作一次改變比例為得到的耦合常數(shù)。但嚴格說起來，這并不是一個群，而是一個所謂的半群。原因是在上述定義下，我們無法定義逆變換。

現(xiàn)在，我們把寫成

并令

其中是一個固定的數(shù)。如上所述，為使得最后結果有物理意義，我們要讓耦合常數(shù)也作相應的改變，即也隨參量改變。并令

由此，我們可以定義所謂函數(shù)。它是重整化群理論中最重要的一個物理量，決定了相應的相互作用在整個理論框架下所起的作用。1