[科普中國]-麥克斯韋速率分布律

定義

對于大量氣體分子整體來看，它的速率分布遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。如果不限制氣體分子速度的方向，而只研究大量氣體分子處于平衡狀態(tài)下，氣體分子的速率在某一 的速率區(qū)間 內(nèi)的概率多大?？傻贸鳆溈怂鬼f速率分布律。

在一定溫度 ，處于平衡狀態(tài)的質(zhì)量為 的一定種類的氣體。分子質(zhì)量為 ，分子總數(shù)為 。出現(xiàn)在某一速率 的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 ，那么 表示分布在這一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。對于不同的速率 。若速率區(qū)間 相同．其比率 的數(shù)值一般是不相同的。也就是說，比率 與速率 有關(guān)?？梢哉J為它是與 的一定函數(shù) 成正比。另一方面，在給定的速率附近，速率區(qū)間的大小不，比率 等的數(shù)值也是不相同的。 越大，則分布在這個速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越多。比率就越大． 較大時，是斷續(xù)的。當(dāng) 時， ，其比值 為

（1）

上式表示氣體處于平衡狀態(tài)時分子的速率在某一 附近 的速率區(qū)間內(nèi)的概率，即表示大量氣體分子在速率 附近 速率區(qū)間內(nèi)的分于數(shù) 與氣體分子總數(shù)N的比率。（1）式稱為麥克斯韋速率分布律。它是1859年麥克斯韋在“氣體分子運動論的例證”一文中給出的。氣體分子的頻繁碰撞并未使它們的速度趨于一致．而是出現(xiàn)穩(wěn)定的分布。他用統(tǒng)計的方法和概率的觀點得出在平衡態(tài)下，速率在內(nèi)氣體分子數(shù)dN與總分子數(shù)的比率．1

三個特征速率利用麥克斯韋速率分布律可以計算最概然速率、平均速率和方均根速率，稱這三個速率為特征速率。

最概然速率速率分布函數(shù)取極大值對應(yīng)的速率為最概然速率，在該速率處速率分布函數(shù)對速率的一階導(dǎo)數(shù)為零

解此方程可得最概然速率為

最概然速率隨溫度的升高增加，如圖所示

平均速率平均速率是速率的平均值，由公式

將麥克斯韋速率分布律代入可得

方均根速率方均根速率是對 速率平方平均后開平方，速率平方平均值為

所以方均根速率為

三個特征速率隨著溫度升高而增加，它們的數(shù)量關(guān)系如圖所示2