[科普中國]-弧度制

發(fā)展歷程

在研究弧度制發(fā)展時(shí)，我們必須談到三角學(xué)和角，因?yàn)榛《戎剖且劳兴鼈兌叽嬖诘摹Ｒ罁?jù)三角學(xué)在數(shù)學(xué)研究中的地位，筆者認(rèn)為三角學(xué)的發(fā)展可以分為萌芽階段、傳播階段和確立階段三個(gè)階段。萌芽階段從公元前約300年古巴比倫時(shí)期開始到公元640年希臘古代數(shù)學(xué)落幕為止，這段時(shí)期由于天文學(xué)的需要，三角學(xué)受到學(xué)者們的重視，它是天文學(xué)的一部分；傳播階段從公元640年希臘古代數(shù)學(xué)落幕后到15世紀(jì)文藝復(fù)興開始前為止，這段時(shí)期三角學(xué)在不同地區(qū)傳播，雖然其研究?jī)?nèi)容本質(zhì)與萌芽階段時(shí)相比沒有區(qū)別，但它逐漸脫離天文學(xué)，成為了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支；確立階段是從文藝復(fù)興開始至今，在微積分等新興數(shù)學(xué)力量的崛起下，三角學(xué)逐漸成為了其他數(shù)學(xué)分支中的一部分，而在此期間，弧度制成為了度量角的主要單位。

18世紀(jì)以前，人們一直是用線段的長(zhǎng)來定義三角函數(shù)的?；《榷x的提出，是數(shù)學(xué)家Roger Cotes在1714年提出的，作為一種對(duì)角度的描述，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都把radian譯作“弧度”。 1881年，學(xué)者哈爾斯特(G．B．Halsted)等用希臘字母ρ表示弧度的單位．1907年，學(xué)者包爾（G．N．Bauer)用r表示；1909年，學(xué)者霍爾(A．G．Hall)等又用R來表示，例如將單位弧度（角度制1°）寫成（π/180）rad，人們習(xí)慣把弧度的單位省略。1

基本思想弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長(zhǎng)有同一度量單位，然后用對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源于印度。那么半圓的弧長(zhǎng)為π，此時(shí)的正弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長(zhǎng)為π/2，此時(shí)的正弦為1，記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對(duì)的中心角。其它的角也可依此類推。1

角度與弧度角度分：在任意一個(gè)角一邊所對(duì)應(yīng)的射線情況下，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所形成的角稱為正角；順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的角稱為負(fù)角；射線未作任何旋轉(zhuǎn)，仍留在原來位置，那么我們也把它看成一個(gè)角，叫做零角。1

弧度分：正角的弧度值是一個(gè)正量（正實(shí)數(shù)），負(fù)角的弧度值是一個(gè)負(fù)量（負(fù)實(shí)數(shù)），零角的弧度值是零。1弧度制能使角的集合與實(shí)數(shù)集合R存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)。

角度制，就是用角的大小來度量角的大小的方法。在角度制中，我們把周角的1/360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度。由于1度的大小不因?yàn)閳A的大小而改變，所以角度大小是一個(gè)與圓的半徑無關(guān)的量。

弧度制，顧名思義，就是用弧的長(zhǎng)度來度量角的大小的方法。單位弧度定義為圓周上長(zhǎng)度等于半徑的圓弧與圓心構(gòu)成的角。由于圓弧長(zhǎng)短與圓半徑之比，不因?yàn)閳A的大小而改變，所以弧度數(shù)也是一個(gè)與圓的半徑無關(guān)的量。角度以弧度給出時(shí)，通常不寫弧度單位，有時(shí)記為rad或R。

換算

一個(gè)完整的圓的弧度是2π，所以：

2π rad = 360°，1 π rad = 180°，1°=π/180° rad ，1 rad = (180/π)°≈57.30°=57°18ˊ1

有關(guān)公式弧長(zhǎng)公式

上式中，l為弧長(zhǎng)，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導(dǎo)：由弧度定義得

面積公式

上式中，S為面積，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導(dǎo)：（角度制角度為n°）由，將α代入，得到

相關(guān)物理量角速度做圓周運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)所走的弧度即為角速度。符號(hào)：ω，單位：弧度每秒（rad/s）。定義公式：(α為所走過弧度，t為時(shí)間）。

由角速度、線速度（速率）的定義公式及弧長(zhǎng)公式可以推出角速度與線速度的關(guān)系式：（r為半徑）2

周期做周期運(yùn)動(dòng)的物體完成一次周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間即為周期。符號(hào)：T，單位：秒（s）。

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，周期T與角速度ω有關(guān)，關(guān)系式為。2

意義弧度制之所以能成為當(dāng)今數(shù)學(xué)主要的角的單位制度，主要原因有二：

(一)使進(jìn)位制統(tǒng)一。在古巴比倫以及古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家在研究天文學(xué)問題時(shí)，普遍習(xí)慣使用60進(jìn)制對(duì)角進(jìn)行度量，為了進(jìn)位制的統(tǒng)一，也用60進(jìn)制度量弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)。此時(shí)，角度制滿足了這種需求。而隨著歷史的發(fā)展，10進(jìn)制取代了60進(jìn)制成為了度量長(zhǎng)度的主要進(jìn)位制。為了保持進(jìn)位制的統(tǒng)一，自然地也將角的進(jìn)位制換成10進(jìn)制。弧度制滿足了這一需求，而且可以與角度制進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的換算，與原有數(shù)學(xué)系統(tǒng)相容．這樣，在查閱三角函數(shù)表時(shí)就可以看到用統(tǒng)一進(jìn)位制表示的數(shù)，便于數(shù)與數(shù)之間的對(duì)比，提高解決問題的效率。

(二)簡(jiǎn)化微積分創(chuàng)立后公式的計(jì)算．弧度制大約直到18世紀(jì)才被提出來，它的提出是受到微積分等近代數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)的。在弧度制下，與三角函數(shù)有關(guān)的一些公式在形式上均比角度制下有很大的簡(jiǎn)化。正是因?yàn)檫@樣的優(yōu)越性，弧度制才逐漸被數(shù)學(xué)界普遍接受和廣泛使用3。