[科普中國]-散度定理

概念

散度定理是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內(nèi)部的向量場的表現(xiàn)聯(lián)系起來的定理。更加精確地說，散度定理說明向量場穿過曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區(qū)域的凈流量。

高斯公式在工程數(shù)學中是一個很重要的結(jié)果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數(shù)。在一維，它等價于微積分基本定理；在二維，它等價于格林公式。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

定理設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區(qū)域，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有

或

這里Σ是Ω的邊界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量的方向余弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數(shù)變換得到兩公式的右邊都等于 ，其中 是曲面 的向外單位法向量1。

表示方法用散度表示高斯公式用散度表示為：

其中Σ是空間閉區(qū)域Ω的邊界曲面，而 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示令V代表有一間單閉曲面S為邊界的體積， 是定義在V中和S上連續(xù)可微的向量場。如果 是外法向向量面元，則

推論對于標量函數(shù)g和向量場F的積，應(yīng)用高斯公式可得：

對于兩個向量場{\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }的向量積，應(yīng)用高斯公式可得：

對于標量函數(shù)f和非零常向量的積，應(yīng)用高斯公式可得：

對于向量場F和非零常向量的向量積，應(yīng)用高斯公式可得：

例子假設(shè)我們想要計算 其中S是一個單位球面，定義為F是向量場：

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

其中W是單位球:

由于函數(shù)y和z是奇函數(shù)，我們有：

因此：

因為單位球W的體積是4π3.

說明：例子所對應(yīng)的向量場。注意，向量可能指向球面的內(nèi)側(cè)或者外側(cè)。

二階張量的散度定理二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內(nèi)容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見并矢張量或張量積）以及相關(guān)的概念和記號2。在這里，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

1)兩個向量a和b并排放在一起所形成的量ab被稱為向量a和b的并矢或并矢張量。注意，一般來說.

2)ab=0的充分必要條件是a=0或b=0。

3)二階張量就是有限個并矢的線性組合。

4)ab分別線性地依賴于a和b。

5)二階張量T和向量a的縮并T*a以及a*T對, T和a都是線性的。

6)特別是，當T=uv時，

所以，一般來說，。

定理：

設(shè)V是三維歐幾里得空間中的一個有限區(qū)域，S是它的邊界曲面， 是S的外法線方向上的單位向量，T是定義在V的某個開鄰域上 的連續(xù)的二階張量場， 是T的轉(zhuǎn)置，則