[科普中國]-n次方根

定義

如果一個數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于a，那么這個數(shù)叫做a的n次方根。當n為奇數(shù)時，這個數(shù)為a的奇次方根；當n為偶數(shù)時，這個數(shù)為a的偶次方根。1

求一個數(shù)a的n次方根的運算叫做開n次方，a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)****。

符號史最早的根號“ ”源于字母“L”的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示“邊長”），沒有線括號（即被開方數(shù)上的橫線），后來數(shù)學(xué)家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在復(fù)雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數(shù)學(xué)家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，并將根指數(shù)寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數(shù)為2時，省略不寫。）。從而，形成了我們現(xiàn)在所熟悉的開方運算符號 。

由于在計算機中的輸入問題，我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算帶有根號的運算由如下公式給出:

這里的a和b是正數(shù)。

對于所有的非零復(fù)數(shù)a，有n個不同的復(fù)數(shù)b使得b=a，所以符號 不能無歧義的使用。n次單位根是特別重要的。

當一個數(shù)從根號形式被變換到冪形式，冪的規(guī)則仍適用（即使對分數(shù)冪），也就是

例如:

如果你要做加法或減法，則你應(yīng)當注意下列概念是重要的。

如果你理解了如何去簡化一個根式表達式，則加法和減法簡單的是群的“同類項”問題。例如

不盡根數(shù)經(jīng)常簡單的留著數(shù)的n次方根不解（就是留著根號）。這些未解的表達式叫做“不盡根數(shù)”（surd），它們可以接著被處理為更簡單的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操縱不盡根數(shù)的基本技術(shù):2

找到所有方根任何數(shù)的所有的根，實數(shù)或復(fù)數(shù)的，可以通過簡單的算法找到。這個數(shù)應(yīng)當首先被寫為如下形式ae(參見歐拉公式)。接著所有的n次方根給出為:2

對于 ，這里的 表示a的主n次方根。

正實數(shù)

所有x=a或a的n次方根，這里的a是正實數(shù)，的復(fù)數(shù)解由如下簡單等式給出:

對于 ，這里的 表示a的主n次方根。

解多項式曾經(jīng)猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

的解不能用根號表達。

算法對于正數(shù)A，可以通過以下算法求得 的值：

（1）猜一個 的近似值，將其作為初始值 ，

（2）設(shè) 。記誤差為 ，即，

（3）重復(fù)步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： 。