[科普中國]-文氏圖

文氏圖（英語：Venn diagram），或譯Venn圖、溫氏圖、維恩圖、范氏圖，是在所謂的集合論（或者類的理論）數(shù)學(xué)分支中，在不太嚴(yán)格的意義下用以表示集合（或類）的一種草圖。

定義文氏圖（英語：Venn diagram），或譯Venn圖、1溫氏圖、維恩圖、范氏圖，是在所謂的集合論（或者類的理論）數(shù)學(xué)分支中，在不太嚴(yán)格的意義下用以表示集合（或類）的一種草圖。它們用于展示在不同的事物群組（集合）之間的數(shù)學(xué)或邏輯聯(lián)系，尤其適合用來表示集合（或）類之間的“大致關(guān)系”，它也常常被用來幫助推導(dǎo)（或理解推導(dǎo)過程）關(guān)于集合運算（或類運算）的一些規(guī)律。

起源John Venn 是十九世紀(jì)英國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他在 1881年發(fā)明了文氏圖。在劍橋大學(xué)的 Caius 學(xué)院的彩色玻璃窗上有對他的這個發(fā)明的紀(jì)念。

例子在文氏圖法中，如果有論域，則以一個矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示論域；各個集合（或類）就以圓/橢圓（的內(nèi)部區(qū)域）來表示。兩個圓/橢圓相交，其相交部分表示兩個集合（或類）的公共元素，兩個圓/橢圓不相交（相離或相切，而實際上在文氏圖中相切是沒有什么意義的，因為文氏圖是以圖形的內(nèi)部區(qū)域來表示的）則說明這兩個集合（或類）沒有公共元素。2

比如黃色的圓圈（集合A）可以表示兩足的所有活物。藍色的圓圈（集合B）可以表示會飛的所有活物。黃色和藍色的圓圈交疊的區(qū)域（叫做交集）包含會飛且兩足的所有活物──比如鸚鵡。（把每個單獨的活物類型想像為在這個圖中的某個點）。

人和企鵝會在橙色圓圈中不與藍色圓圈交疊的部分中。蚊子有六足并且會飛，所以蚊子的點可以在藍色圓圈中不與橙色圓圈交疊的部分中。不是兩足并且不會飛的東西（比如鯨和響尾蛇）可以表示為在這兩個圓圈之外的點。在技術(shù)上，上面的文氏圖可以解釋為"集合A和集合B之間的聯(lián)系，它們可以有一些（但不是全部）的元素是公共的"。

集合A和B的組合區(qū)域叫做集合A和B的并集。在這個個例中并集包含要么兩足、要么會飛、要么兩足并且會飛的所有東西。圓圈交疊暗示著兩個集合的交集非空──就是說在事實上有活物同時在黃色和藍色圓圈中。

文氏圖與其它的圖示法一樣，它不能準(zhǔn)確表示一個集合（或類）中到底有哪些元素。

有時在文氏圖在外面繪制一個方框(叫做全集)來展示所有可能事物的空間。如上提及到的，鯨可以表示為不在并集中但在(活物或所有事物，依賴于你如何選擇對特定圖的全集的定義)全集中一個點。

類似的圖歐拉圖可能在外觀上同文氏圖是一致的。它們之間的區(qū)別只在于它們的應(yīng)用領(lǐng)域中，就是說在被分割的全集的類型中。歐拉圖展示對象的特定集合，文氏圖的概念更一般的適用于可能的聯(lián)系。文氏圖和歐拉圖沒有合并的原因可能是，歐拉的版本是早在100多年前就出現(xiàn)了的，歐拉已經(jīng)有了足夠多的成就了，而Venn只留下了這么一個圖。

在歐拉圖和文氏圖之間的區(qū)別只是在想法上，歐拉圖要展示特定集合之間的聯(lián)系，而文氏圖要包含所有可能的組合。下面是歐拉圖的一個例子：

在這個例子中，一個集合完全在另一個集合內(nèi)部。我們說集合A是在世界中能找到的所有的不同類型的奶酪，集合B是在世界中能找到的所有食物。從這個圖中，你可以看出所有奶酪都是食物，但是不是所有食物都是奶酪。進一步的說，集合C（比如說金屬造物）與集合B沒有公共元素（集合的成員），從此我們可以在邏輯上斷言沒有奶酪是金屬造物（或者反過來說）。在形式上，上述的圖可以在數(shù)學(xué)上解釋為"集合A是集合B的真子集，而集合C和集合B沒有公共元素"。

或解釋為一個三段論

所有As是Bs

沒有Cs是Bs

所以，沒有Cs是As

所以，沒有As是Cs。

擴展歷來有許多把文氏圖推廣到多個集合的嘗試。Venn使用橢圓達到了四個集合但從未滿意他的五集合解法。在一個世紀(jì)之后，才找到了一種能滿足Venn關(guān)于對稱性的非正式要求。

在大眾文化中在美國電視劇生活大爆炸（The Big Bang Theory）S1E14中，Leonard不小心買下了巨型時光機，他納悶道：誰會用800元就賣出一臺全尺寸的時間機器？ Sheldon回答：在文氏圖中，那是位于“不再想要時間機器”和“需要800元”兩個集合的交接區(qū)域。

參見圖

布林代數(shù)

卡諾圖

圖形組織器

米尼佛夫人問題

與文氏圖類似的歐拉圖

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王偉 - 副教授 - 上海交通大學(xué)