[科普中國]-非線性模型

非線性模型(nonlinear model)指反映自變量與依變量間非線性關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它相對于線性模型而言，其依變量與自變量間不能在坐標(biāo)空間表示為線性對應(yīng)關(guān)系。

非線性模型的含義如果解釋變量X的單位變動(dòng)引起因變量的變化率(即斜率)是一個(gè)常數(shù)。則回歸模型是一種(解釋)變量線性模型。相反，如果斜率不能保持不變，則回歸模型就是一種(解釋)變量非線性模型。

非線性模型的一般形式是：

式中，Y是被解釋變量；是解釋變量；是模型參數(shù)；為擾動(dòng)項(xiàng)；是非線性函數(shù)。式中解釋變量的個(gè)數(shù)k與參數(shù)個(gè)數(shù)j不一定相等1。

變量非線性模型Y與X之間不存在線性關(guān)系，但Y與參數(shù)之間存在線性關(guān)系。例如：

參數(shù)非線性模型Y與X之間存在線性關(guān)系，但是Y和參數(shù)之間不存在線性關(guān)系。例如，下面的模型是一個(gè)參數(shù)非線性模型，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/SWjKM3eX7oDQsn2BigIl5Hy4pwDdYDIFC6T3.jpg" alt="" />以平方的形式出現(xiàn)。

對于非線性回歸分析，只有參數(shù)的線性回歸分析才是重要的，因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x米解決1。

非線性模型的幾種情況(1)Y與解釋變量不存在線。Y與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性叫歸模型。

例1柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)是指在一定時(shí)期內(nèi)，在技術(shù)水平不變的情況下，生產(chǎn)中所使用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關(guān)系。也就是說，生產(chǎn)過程中總投入與總產(chǎn)出之間的一種函數(shù)關(guān)系。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(C-D生產(chǎn)函數(shù))是指產(chǎn)出表示為技術(shù)、資本和勞動(dòng)投入量的函數(shù)。該生產(chǎn)函數(shù)由美國數(shù)學(xué)家柯布(C.W.Cobb)和經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅·道格拉斯(Paul H.Douglas)共同創(chuàng)立而得名，是經(jīng)濟(jì)學(xué)中普遍使用的生產(chǎn)函數(shù)。其形式為：

式中，Y表示產(chǎn)出；K和L分別表示資本投入和勞動(dòng)力投入，A表示技術(shù)系數(shù)，和分別表示資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性。

將C-D生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)對數(shù)變換。轉(zhuǎn)換為如下形式：

就可以利用線性模型中的OLS估計(jì)實(shí)現(xiàn)對生產(chǎn)函數(shù)中各系數(shù)的估計(jì)。

(2)Y與X不存在線性關(guān)系，Y與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，而且也不能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。

在現(xiàn)實(shí)生活中，并非所有非線性函數(shù)形式都可以線性化，那些不能線性化的模型一般形式為：

比如，就是一個(gè)不能進(jìn)行線性化處理的模型1。

其他解釋非線性模型是反映自變量與依變量間非線性關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)隨機(jī)變量為Y， 若可表示為：

此結(jié)構(gòu)稱為非線性模型， 其中為某種非線性函數(shù)。Y為一隨機(jī)變量(依變量)的n次觀察值構(gòu)成的n維向量。X為設(shè)計(jì)矩陣，由p個(gè)變量(自變量)的n次觀察值構(gòu)成的n×p維向量，β為未知參數(shù)向量，e為隨機(jī)誤差向量，通常假設(shè)各觀測值是相互獨(dú)立且是同分布的，即。這里，而也可以是未知的，這時(shí)它也是模型的未知參數(shù)， 稱為誤差方差。

非線性模型的形式多種多樣， 依建立模型的方法不同可分為：①推理模型。根據(jù)具體學(xué)科理論揭示的變量間相互關(guān)系用數(shù)學(xué)分析的方法建立模型， 如Logistic模型等，這類模型具有一定的生物學(xué)基礎(chǔ)，其參數(shù)具有確定的生物學(xué)意義。②經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>。對某些變量無法推理方法得到或經(jīng)推理得到但過于復(fù)雜的變量間關(guān)系，可利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系式直接擬合變量間關(guān)系，建立純經(jīng)驗(yàn)性模型，如奶牛泌乳曲線等，這類模型的參數(shù)多數(shù)沒有直接的生物學(xué)意義， 使模型的應(yīng)用受到一定的限制。