[科普中國(guó)]-對(duì)合矩陣

設(shè)A為n階方陣，I為n階單位陣，則滿足A2=I的方陣A稱為對(duì)合矩陣。滿足A2=A的方陣A稱為冪等矩陣。對(duì)于冪等矩陣和對(duì)合矩陣，有如下定理：(1)A為對(duì)合矩陣的充分必要條件是(I-A )(I+A)=0；(2)若A、B都是對(duì)合矩陣，則AB為對(duì)合矩陣的充分必要條件是AB=BA；(3)若A、B都是冪等矩陣，則A+B為冪等矩陣的充分必要條件足A****B=B****A1。

定義矩陣稱為對(duì)合矩陣(involutory matrix)，如果

其中為單位矩陣。

若是n階方陣，那么是對(duì)合矩陣的充分必要條件是是冪等矩陣；對(duì)合矩陣一定相似于對(duì)角陣

其中；若是對(duì)合矩陣，那么必有

相關(guān)定理定理1 設(shè)是對(duì)合矩陣，則

(1)當(dāng)n=2時(shí)，A形如

或者

或.

(2)是等冪矩陣。

定義 稱為共軛對(duì)合矩陣(coninvolutory matrix)或圓矩陣(circular matrix)，如果

定理2為共軛對(duì)合矩陣的充分必要條件是存在，使得

定理3設(shè)，下列條件等價(jià)：

(1) ，即E是共軛對(duì)合矩陣；

(2)；

(3) 是共軛對(duì)合矩陣。

定理4 設(shè)是非奇異矩陣，則

(1)存在共軛對(duì)合矩陣和非奇異矩陣，使得

而且E是的多項(xiàng)式。

(2)如果，其中滿足，是非奇異矩陣，那么

而且，若R和E可交換，則A和可交換(即是實(shí)的)；反之，若A和可交換，E是的多項(xiàng)式，則R和E可交換。

定理5 設(shè)，存在和共軛對(duì)合矩陣使得

的充分必要條件是非奇異矩陣使得2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)