[科普中國]-滿態(tài)射

滿態(tài)射是集合范疇中滿射概念的推廣。它是單態(tài)射的對偶概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有右可消性質(zhì)，即由態(tài)射合成uf=vf可斷定u=v，則稱f為C中的滿態(tài)射。若fg為滿態(tài)射，則f為滿態(tài)射。

概念滿態(tài)射是集合范疇中滿射概念的推廣。它是單態(tài)射的對偶概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有右可消性質(zhì)，即由態(tài)射合成uf=vf可斷定u=v，則稱f為C中的滿態(tài)射。若fg為滿態(tài)射，則f為滿態(tài)射；滿態(tài)射的合成仍為滿態(tài)射；單位態(tài)射必是滿態(tài)射，甚至右可逆態(tài)射也是滿態(tài)射。在群范疇中滿態(tài)射即滿同態(tài)；在環(huán)范疇中滿同態(tài)為滿態(tài)射，但反之不真。

單態(tài)射單態(tài)射是集合范疇Set中單射概念的推廣。它與滿態(tài)射是互為對偶的概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有左可消性質(zhì)，即對使態(tài)射合成有意義的態(tài)射u，v，由fu=fv可斷定u=v，則稱f為C中的單態(tài)射。若gf為單態(tài)射，則f必為單態(tài)射；單態(tài)射的合成仍為單態(tài)射；單位態(tài)射必為單態(tài)射，甚至左可逆態(tài)射也是單態(tài)射。

單射

亦稱一一映射。一種重要的映射。與一一對應，單葉函數(shù)同義的概念。映射f：A→B對任何a，b∈A，a≠b均有f(a)≠f(b)，即對于f的值域中的任一元素b，|f(b)|≤1。單射不必是滿射。

單射有下列性質(zhì)：

1.f：A→B是單射的充分必要條件是對任何b∈B，f(b)是空集或單元集。

2.若f：A→B，g：B→C均是單射，則g°f：A→C是單射。

3.若f：A→B，g：B→C是映射，g°f：A→C是單射，則f：A→B是單射，且g|f(A)：f(A)→C是單射。

4.單射有左逆映射。對單射f：A→B可以定義映射fL：B→A使fL°f是集合A的恒等映射。這只要對B-f(A)中的每一個元素指定A中一個元素與之對應，對f(A)中任一元素b，指定f(b)與之對應。當單射不是滿射時，這樣的左逆映射不只一個。1

5.若f：A→B是單射，則：

1) 對A1A，f(f(A1))=A1。

2) 對B1B，f(f(B1))=B1∩f(A)B1，特別當B1f(A)時，f(f(B1))=B1。

3) 對A1A，A2A，有：f(A1∩A2)=f(A1)∩f(A2)，f(A1-A2)=f(A1)-f(A2)。

6.對任何映射f： A→B，可定義單射g：A→A×B，使g(a)=〈a，f(a)〉。

7.f：A→B是單射的充分必要條件是對任意兩個映射φ：C→A，ψ：C→A，在φ≠ψ時，f°φ≠f°ψ。

范疇范疇論的基本概念之一。稱C是一個范疇，是指C滿足下述六點：

1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態(tài)射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。2

3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.態(tài)射合成滿足結合律。

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素εA使對σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恒等態(tài)射(εB為B的恒等態(tài)射)。

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態(tài)射，則得集合范疇Set(簡稱集范疇).以一切拓撲空間作對象，以連續(xù)映射作態(tài)射，則得拓撲空間范疇Top.以一切環(huán)為對象，以環(huán)同態(tài)作為態(tài)射得環(huán)范疇Ring。類似地，可得群范疇Group，阿貝爾群范疇AG，環(huán)R上的左R模范疇RM等。以自然數(shù)為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個范疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義范疇。

范疇論代數(shù)學的一個重要分支。數(shù)學的各個領域都有各自的研究對象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數(shù)研究線性空間與線性映射;群論研究群與群同態(tài)；拓撲學研究拓撲空間與連續(xù)映射。在20世紀中期，數(shù)學家們認為有必要將各個領域中的研究對象各自合在一起成為一個整體，使之成為一種數(shù)學系統(tǒng)，這就是范疇思想。于是，所有的集合與映射組成集合范疇；所有的群與群同態(tài)組成群范疇。在各個范疇之間往往存在著內(nèi)在聯(lián)系與變換。例如，一個群模去其換位子群的商群(稱為交換化)得到一個交換群，從而交換化成為群范疇到交換群范疇的一個變換，且這個變換保持著群同態(tài)及其合成。事實上，這就是函子的思想.在域F上的線性空間范疇中，任一線性空間L必有惟一的對偶空間L=HomF(L，F(xiàn))，“*”可看成這個線性空間范疇到自身的一個變換。盡管當L為有限維時L與L是同構的(記這個同構為τ：L→L)，但這個同構不是“自然”的。即，若L1與L2間有一個同構α：L1→L2，“*”誘導出L2到L1的一個同構為α，但對L1中的元素x來說，τα(x)一般地并不等于ατ(x)。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)于1945年發(fā)表的論文《自然等價的一般理論》為范疇論的建立作出了奠基性的工作。

在某種意義上來說，范疇論提煉了數(shù)學(甚至其他學科)各分支的共性，是比集合論更高一個層次的數(shù)學公共語言與工具。它使數(shù)學各個領域的研究通過箭頭圖做了一致化與簡單化的處理，更加顯示其本質(zhì)上的東西，同時使許多數(shù)學系統(tǒng)的性質(zhì)通過圖的泛性質(zhì)得到了深刻的刻畫。戈德門特(Godement，R.)于1958年將范疇論應用到拓撲學，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年將范疇論應用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)于1960年將范疇論應用到代數(shù)幾何.現(xiàn)在，范疇論在上述學科及同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論、模論、環(huán)論等學科中都得到了成功的應用。應用范疇論時，關鍵是先搞清研究問題以什么作對象，以什么作態(tài)射。研究不同范疇之間的關系時，關鍵在于找到適當?shù)暮?。范疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(等價)的“自然”變換之精確含義，于1945年引入范疇與函子的概念去定義自然變換.現(xiàn)在，范疇論已滲透到現(xiàn)代數(shù)學的各個領域(甚至已應用到計算機科學等)，成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎。3

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學