[科普中國]-法截面

法截面是微分幾何的一個(gè)概念。曲面上一點(diǎn)，選定過該點(diǎn)的一個(gè)切向量，由該切向量和過該點(diǎn)的法向量所張成的平面，被稱為該切向量所決定的法截面。

概念法截面亦稱法平面。包含曲面一點(diǎn)法線的所有平面。在大地測(cè)量學(xué)中常指包含地球橢球面一點(diǎn)法線的平面。過曲面上一點(diǎn)的法截面有無限多個(gè)。其中有兩個(gè)相互垂直且曲率半徑為極大和極小的法截面稱為主法截面。在地球橢球上，方位角為0°（180°）的主法截面稱為子午面；方位角為90°（270°）的主法截面稱為卯酉面。 法截線：法截面與曲面的截線。過曲面上一點(diǎn)的法截線有無限多條，其中兩個(gè)相互正交的主法截面與曲面的截線稱為“主法截線”。地球橢球面上，方位角等于0°（180°）的法截線稱為子午圈；方位角為90°（270°）的稱卯酉圈。過一點(diǎn)的所有法截線，其形狀都以過該點(diǎn)的子午圈和卯酉圈為對(duì)稱。

異形螺桿端截面與法截面關(guān)系研究研究背景螺桿泵轉(zhuǎn)子的加工國內(nèi)主要采用成形法與無瞬心包絡(luò)銑削方法。使用成形法，用戶需要法面數(shù)據(jù)制作成型銑刀，成型銑刀沿螺旋線方向多次銑削形成多頭螺桿;使用無瞬心包絡(luò)銑削方法，用戶使用螺桿端面數(shù)據(jù)即可加工螺桿，同時(shí)用戶也可以使用成形銑刀檢測(cè)加工螺桿的形狀。無論使用哪一種加工方法，螺桿端面數(shù)據(jù)或法面數(shù)據(jù)是諸多生產(chǎn)廠家必需的前提數(shù)據(jù)，對(duì)端面數(shù)據(jù)與法面數(shù)據(jù)的研究在許多廠家來說是一個(gè)較復(fù)雜、困難的課題，一些廠家可能僅有端截面或法截面一種數(shù)據(jù)，所以實(shí)現(xiàn)這兩種數(shù)據(jù)的互相轉(zhuǎn)換對(duì)許多螺桿生產(chǎn)廠家來說是迫在眉睫的關(guān)鍵技術(shù)問題。

數(shù)學(xué)模型的建立螺旋曲面的形成一般是在設(shè)螺桿的端面截形曲線為Γ(又稱為母線)時(shí)，讓該母線Γ繞以工件軸心Z軸為軸心線作螺旋運(yùn)動(dòng)所形成的曲面S。在工件坐標(biāo)系中左旋螺旋曲面方程為：

其中：t—參變量；τ—角度變量，表示母線Γ從起始位置繞Z軸轉(zhuǎn)過的角度，逆時(shí)針為正；p—螺旋參數(shù)，p=±h/2π，右旋螺旋面取“+”，左旋螺旋面取“-”。h為螺旋面導(dǎo)程，為已知參數(shù)(下面均以左旋為例)。圖1所示為5頭螺桿端面曲線形狀及螺桿。

如圖2所示，假設(shè)T、n分別是平面曲線c上M點(diǎn)的切線與法線，α為螺旋升角。為求得以參數(shù)方程式表達(dá)的曲面S上任意一點(diǎn)M的法線矢量n，可在曲面S上作一系列坐標(biāo)曲線如圖3所示。現(xiàn)固定一個(gè)參數(shù)，例如令t=常數(shù)，得到曲面S上的一組空間曲線，稱為τ曲線。顯然，在τ曲線上，t=常數(shù)，只有參數(shù)τ變化；同樣可得與τ曲線相交的t曲線，t曲線上，τ=常數(shù)，只有參數(shù)t變化。這兩段曲線交織成曲面S。

研究結(jié)論研究給出了螺旋曲面法截面與端截面相互轉(zhuǎn)換公式，通過在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)踐并通過對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，證明該轉(zhuǎn)換公式是正確的，已經(jīng)在生產(chǎn)實(shí)踐中得到應(yīng)用。1

針對(duì)角鋼桁架的滿利用率齒行法截面優(yōu)化研究背景對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，截面級(jí)的優(yōu)化問題向來是遏制更高層次諸如形狀、拓?fù)鋬?yōu)化的瓶頸，在文獻(xiàn)2中研究者曾試圖用刪除大量不可行組合搜索的方式尋求最優(yōu)組合解，但在具體實(shí)施時(shí)，研究者還是放棄了全局組合方式。而同樣基于靜定化假設(shè)的思想，在迭代后的小片區(qū)域里進(jìn)行組合搜索，這與經(jīng)典滿應(yīng)力設(shè)計(jì)方法在本質(zhì)上是相似的。因此，在現(xiàn)階段，進(jìn)一步研究滿應(yīng)力思想是進(jìn)行截面優(yōu)化的必循之路。

相比于滿應(yīng)力設(shè)計(jì)，滿利用率設(shè)計(jì)方法是一種以結(jié)構(gòu)體系中每一桿件至少在一種工況下有一項(xiàng)或多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到利用率最大為準(zhǔn)則的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。傳統(tǒng)的滿應(yīng)力設(shè)計(jì)往往是針對(duì)連續(xù)截面變量而言的，以往的文獻(xiàn)也有將滿應(yīng)力設(shè)計(jì)應(yīng)用到設(shè)計(jì)變量為鋼管截面的桁架體系中。文獻(xiàn)提出的方法雖然可以達(dá)到滿應(yīng)力優(yōu)化的目的，但是效率比較低，而且僅僅照顧到應(yīng)力約束，對(duì)于工程上應(yīng)注意的長細(xì)比約束并未考慮。研究旨在提出一種比滿應(yīng)力方法適應(yīng)面更廣的滿利用率設(shè)計(jì)方法，借用成員設(shè)計(jì)變量的概念，同時(shí)針對(duì)非全截面對(duì)稱的角鋼桁架，綜合考慮應(yīng)力及長細(xì)比約束，并采用齒行方式將設(shè)計(jì)值進(jìn)行修正，將優(yōu)化結(jié)果逼近到真實(shí)的優(yōu)化解上。

算法思想簡單的桁架結(jié)構(gòu)體系的優(yōu)化計(jì)算數(shù)學(xué)模型可以定義如下。

P1：求I=[I1，I2，I3，…，In]T；

s.t. σi≤[σi+]，σi≥[σi-]λi≤[λi]，i = 1 , 2 , 3 , …, n

式中：I是設(shè)計(jì)變量截面對(duì)應(yīng)于材料表中桿件截面的序號(hào)；ρi為材料密度；Ai為桿件截面積；li為桿件長度；σi與λi分別表示桿件應(yīng)力和長細(xì)比；材料表S={s1，s2，s3，…，sm}；n為設(shè)計(jì)變量總數(shù)；m為離散截面型號(hào)總數(shù)。

角鋼材料表S中的一種截面型號(hào)包含了諸如肢寬b、肢厚t、面積A、最小軸回轉(zhuǎn)半徑ix、平行軸回轉(zhuǎn)半徑iy等多個(gè)信息，對(duì)于不同的約束條件所要用到的截面信息也不同。為了表示方便，這里引入C++語言中類的成員變量的表示方法，分別以Sb、St、SA、Six、Siy表示某種型號(hào)角鋼的肢寬、肢厚、面積、最小軸回轉(zhuǎn)半徑及平行軸回轉(zhuǎn)半徑。這種表示方法可以很清楚地區(qū)分開同種截面型號(hào)中不同的信息類型，便于程序化操作。

含應(yīng)力約束的截面優(yōu)化問題的大基礎(chǔ)還是不能拋棄靜定化假設(shè)的，否則采用全搜索法將會(huì)帶來令人難以忍受的時(shí)間耗用。滿利用率設(shè)計(jì)中的滿應(yīng)力設(shè)計(jì)也是基于這個(gè)假設(shè)，也就是假定桁架內(nèi)力重分析前后桿件剛度對(duì)各部分力的分配影響不大，從而對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)近似求取最優(yōu)解。

對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，由于約束條件是線性的，單根桿件的內(nèi)力與其他桿件無關(guān)，利用迭代因子一次就可以達(dá)到優(yōu)化目的。對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，由于靜定假設(shè)是對(duì)于一次迭代前后而言的，實(shí)際計(jì)算中迭代次數(shù)會(huì)因?yàn)榧s束條件的非線性而增多。如果結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為正常型(矩陣條件數(shù)很小)，則桿件內(nèi)力的相互影響較小，迭代很快且能夠收斂到優(yōu)化解上，迭代次數(shù)和結(jié)果不隨初始截面變化而變化；若結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為敏感型(矩陣條件數(shù)較大)，
則桿件剛度變化將導(dǎo)致迭代不容易收斂，這時(shí)候可以通過改變初始截面值的方法進(jìn)行調(diào)整，但不同的初始截面可能會(huì)導(dǎo)致不同的迭代結(jié)果。因此，對(duì)于應(yīng)力約束為最嚴(yán)約束的優(yōu)化問題，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為正常型是迭代能夠收斂的必要條件。工程實(shí)踐表明，絕大多數(shù)情況下輸電塔、空間桁架屋蓋等大型結(jié)構(gòu)體系是屬于正常型的。類比文獻(xiàn)，可以提出滿利用率法的準(zhǔn)則是各桿的迭代因子K=1。這里綜合考慮了應(yīng)力與長細(xì)比的雙重約束。另外，如果僅僅采用簡單的迭代方法，則設(shè)計(jì)變量只會(huì)在可行集與非可行集之間來回搜索，最后在某些約束條件的交點(diǎn)上得到最優(yōu)解。但優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解往往不是位于某些約束條件的交點(diǎn)上，而是位于某一個(gè)約束曲線上。為了保證得到最優(yōu)解，采用齒行路線法往往可以得到很好的效果。

齒行法與簡單迭代法的區(qū)別在于設(shè)計(jì)變量迭代到偶數(shù)步時(shí)，是從奇數(shù)步中得到各桿的Ki中選出最大的Kmax作為各桿新截面的變更依據(jù)，嚴(yán)格意義上已不屬于滿應(yīng)力設(shè)計(jì)的范疇，而是把每一步滿應(yīng)力設(shè)計(jì)迭代公式作為更改設(shè)計(jì)減少重量的手段。這樣一來，對(duì)于在奇數(shù)步處于非可行集的有最嚴(yán)約束的桿件，在偶數(shù)步必定會(huì)回到約束曲面上來，而其他桿件則必定會(huì)退回可行集內(nèi)。重復(fù)迭代以后，可以保證每次設(shè)計(jì)結(jié)果都會(huì)落在某個(gè)最嚴(yán)的約束曲面上，最終收斂到最優(yōu)解而不再變化，從而達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。

傳統(tǒng)意義上的滿應(yīng)力法是針對(duì)連續(xù)設(shè)計(jì)變量而言的，文獻(xiàn)在離散設(shè)計(jì)變量的基礎(chǔ)上提出了擬滿應(yīng)力設(shè)計(jì)的方法，這種方法簡單說來，是在每次應(yīng)力重分析后，考察每根桿件的應(yīng)力比程度，通過循環(huán)遞增或遞減桿件序號(hào)依次進(jìn)行桿件截面驗(yàn)算，選出滿足約束條件且應(yīng)力比最大的桿件，從而達(dá)到物盡其用的目的。然而此種方法在桿件截面型號(hào)非常多的情況下勢(shì)必造成效率較低(組合角鋼材料庫截面類型可以高達(dá)100種以上)。借用應(yīng)力比法思想，滿利用率設(shè)計(jì)可以將設(shè)計(jì)變量值快速鎖定在該迭代步最優(yōu)離散截面值附近，此時(shí)比該計(jì)算值大的相應(yīng)離散值所對(duì)應(yīng)的材料型號(hào)就是該輪迭代的最優(yōu)解。相比文獻(xiàn)的方法，將約束條件蘊(yùn)含在迭代因子里，省去每次迭代后各根桿件需要通過驗(yàn)算遞增的繁瑣過程，大幅度提高了優(yōu)化效率。

研究結(jié)論根據(jù)上述算例可以看出，通過本文的優(yōu)化思路可以達(dá)到優(yōu)化目的，對(duì)滿利用率齒行法進(jìn)行離散變量的截面優(yōu)化總結(jié)如下。

(1)對(duì)于超靜定桁架組合變量的優(yōu)化問題，可以采用全材料庫搜索的方法得到最優(yōu)解，但是相應(yīng)犧牲的是時(shí)間(文獻(xiàn)曾經(jīng)做過一個(gè)有趣的計(jì)算，假設(shè)截面庫只有3種材料，一共有60根桿件，單工況下，假設(shè)進(jìn)行一次內(nèi)力重分析需要1 μs，則完成一次全搜索的計(jì)算時(shí)間會(huì)長達(dá)1.3×1013個(gè)世紀(jì))。如果采用滿利用率齒行法，在設(shè)計(jì)值收斂的情況下，假設(shè)迭代1000次得到最優(yōu)解，就算每根桿件每次循環(huán)比較時(shí)間與全部桿件內(nèi)力重分析時(shí)間相同，總時(shí)間也不過61×1000=6.1×104(μs)=0.061 s，加上讀寫文件時(shí)間最多不超過1 s，優(yōu)化效率顯而易見。在多工況下，這種時(shí)間優(yōu)勢(shì)將更加明顯。

(2)離散截面優(yōu)化設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于設(shè)計(jì)變量的離散性及大量的時(shí)間耗用，在優(yōu)化過程中采用迭代因子可以有效地解決這2個(gè)問題。尋找優(yōu)化迭代因子的關(guān)鍵是找到內(nèi)力重分析前后的相關(guān)不變量，對(duì)于截面積為桿件內(nèi)力，對(duì)于長細(xì)比為桿件長度。而對(duì)應(yīng)力約束為最嚴(yán)約束的情況，超靜定假設(shè)對(duì)優(yōu)化結(jié)果造成的約束一般是不能消除的，采用齒行法在一定程度上可以減小此種影響。

(3)滿利用率的基本思想是充分利用桿件的潛能，這對(duì)于桿件是多方面的，對(duì)于應(yīng)力是面積潛能，對(duì)于長細(xì)比是回轉(zhuǎn)半徑，對(duì)于局部穩(wěn)定是寬厚比等。利用C++中類的思想可以將這些不同的信息區(qū)分開，也有利于將優(yōu)化設(shè)計(jì)程序化。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

張磊 - 副教授 - 西南大學(xué)