[科普中國(guó)]-尖錐術(shù)

尖錐術(shù)（jianzhuishu），李善蘭創(chuàng)造了一種“尖錐術(shù)”，即用尖錐的面積來(lái)表示Xn，用求諸尖錐之和的方法來(lái)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。雖然他在創(chuàng)造“尖錐術(shù)”的時(shí)候還沒(méi)有接觸微積分，但已經(jīng)實(shí)際上得出了有關(guān)定積分公式。李善蘭還曾把“尖錐術(shù)”用于對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。

發(fā)展創(chuàng)始1845年前后，李善蘭在嘉興陸費(fèi)家設(shè)館授徒，得以與江浙一帶的學(xué)者（主要是數(shù)學(xué)家）顧觀光（1799—1862）、張文虎（1808—1885）、汪曰楨（1813—1881）等人相識(shí)，他們經(jīng)常在一起討論數(shù)學(xué)問(wèn)題。此間，李善蘭有關(guān)于“尖錐術(shù)”的著作《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對(duì)數(shù)探源》等問(wèn)世。1

李善蘭的尖錐術(shù)，可以說(shuō)是具有中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的解析幾何和微積分。由于清政府長(zhǎng)期奉行閉關(guān)自守政策，包括微積分學(xué)在內(nèi)的西方近代科學(xué)一直未能傳入中國(guó)。當(dāng)時(shí)的中國(guó)數(shù)學(xué)界，除了見(jiàn)到零星幾個(gè)由傳教士帶進(jìn)來(lái)的三角函數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式和對(duì)數(shù)計(jì)算方法之外，其余則一概不知。就是這些公式和方法，也只有結(jié)論，沒(méi)有推導(dǎo)的過(guò)程和計(jì)算的原理。

在這種情況下，李善蘭異軍突起，獨(dú)辟蹊徑，通過(guò)自己的刻苦鉆研，在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中垛積術(shù)和無(wú)窮小極限方法的基礎(chǔ)上，發(fā)明尖錐術(shù)，不僅創(chuàng)立了二次平方根的冪級(jí)數(shù)展開式，各種銳角三角函數(shù)、反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，而且還具備了解析幾何思想和一些重要定積分公式的雛形。1

尖錐對(duì)數(shù)論特別值得一提的是李善蘭的對(duì)數(shù)論，它建立在尖錐術(shù)的基礎(chǔ)上，獨(dú)具特色，受到了中外學(xué)者的一致贊譽(yù)。2偉烈亞力（A.Wylie，1815—1887）說(shuō)：“李善蘭的對(duì)數(shù)論，使用了具有獨(dú)創(chuàng)性的一連串方法，達(dá)到了如同圣文森特的J.格雷戈里（Gregory，1638—1675）發(fā)明雙曲線求積法時(shí)同樣漂亮的結(jié)果。”。“倘若李善蘭生于J.納皮爾（Napier，1550—1617）、H.布里格斯（Briggs，1556—1631）之時(shí)，則只此一端即可名聞?dòng)谑?。”顧觀光發(fā)覺(jué)李善蘭求對(duì)數(shù)的方法比傳教士帶進(jìn)來(lái)的方法簡(jiǎn)捷、高明，認(rèn)為這是洋人“故為委曲繁重之算法以惑人視聽(tīng)”，因而大力表彰“中土李（善蘭）、戴（煦）諸公又能入其室而發(fā)其藏”，大聲疾呼“以告中土之受欺而不悟者”。3

尖錐幾何在李善蘭尖錐術(shù)的基礎(chǔ)上，解析幾何思想和微積分方法的萌芽，是可以生根長(zhǎng)葉、開花結(jié)果的。從這個(gè)意義上說(shuō)，中國(guó)數(shù)學(xué)也可能以自己特殊的方式走上近代數(shù)學(xué)的道路。只是幾年以后，到了1852年，李善蘭便接觸到了大量從西方傳進(jìn)來(lái)的近代數(shù)學(xué)，并參與了把解析幾何和微積分介紹進(jìn)中國(guó)的翻譯工作。從此，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)逐漸匯入世界數(shù)學(xué)的發(fā)展洪流之中。4

命題內(nèi)容尖錐術(shù)的基本理論概括在他的《方圓闡幽》里的10個(gè)命題之中。命題1～4，有李善蘭的線面體循環(huán)之理；命題5～8，李善蘭創(chuàng)立的尖錐圖形，實(shí)際上是一種處理代數(shù)問(wèn)題的幾何模型，其間有解析幾何思想的萌芽，尖錐求積術(shù)的算法相當(dāng)于冪級(jí)數(shù)定積分公式；命題9、10，李善蘭用平面積來(lái)表示相當(dāng)于定積分值的尖錐積，并由面積相加原理得到逐項(xiàng)積分公式的結(jié)果。進(jìn)而，李善蘭把尖錐術(shù)理論用于求圓周率的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，各種三角數(shù)和反三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式以及對(duì)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。已出現(xiàn)了中國(guó)特色微積分思想的雛形。

意義李善蘭所創(chuàng)立的尖錐概念，是一種處理代數(shù)問(wèn)題的幾何模型。它由互相垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線所組成，并且在考慮尖錐合積的問(wèn)題時(shí)，也是使諸尖錐有共同方向上的底和高，這樣的底和高具有平面直角坐標(biāo)系中縱、橫兩個(gè)坐標(biāo)的作用。5

這種尖錐是由乘方數(shù)漸增漸迭而得，尖錐曲線是由隨同乘方數(shù)一起漸增漸迭的底線和高線所確定的點(diǎn)變動(dòng)而成的軌跡。由于李善蘭把每一條尖錐曲線看作是無(wú)窮冪級(jí)數(shù)中相應(yīng)的項(xiàng)，實(shí)際上他給出了直線（長(zhǎng)方、平尖錐）、拋物線（立尖錐）、立方拋物線（二乘尖錐）……的方程。他的對(duì)數(shù)合尖錐還相當(dāng)于給出了等軸雙曲線的方程。

李善蘭的尖錐求積術(shù)，實(shí)質(zhì)上就是冪函數(shù)的定積分公式和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算法則。同時(shí)，李善蘭用這種積分的方法，配合還原（級(jí)數(shù)回求）、商除等代數(shù)運(yùn)算方法，卓有成效地展開了許多超越函數(shù)的研究，這也是屬于微積分學(xué)早期階段的工作。

名家評(píng)價(jià)清初有兩位天算大師王錫闡（字寅旭，號(hào)曉庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，號(hào)勿庵，1633—1721），當(dāng)時(shí)號(hào)稱“二庵”。蔣學(xué)堅(jiān)說(shuō)：“李先生算學(xué)為中外所共仰，國(guó)初王曉庵、梅勿庵二先生后，當(dāng)首屈一指?！庇钟性?shī)稱李善蘭“步算中西獨(dú)絕倫”、“王梅而后此傳人”、“二庵之后更推誰(shuí)，小李將軍算法奇”。

著作① A.Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。

②顧觀光：《算賸余稿》卷下，《武陵山人遺書》，1883年。

③蔣學(xué)堅(jiān)：《李壬叔先生〈則古昔齋遺詩(shī)〉跋》，《懷亭文錄》。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)