[科普中國]-偽基

偽基亦稱ψ基。拓?fù)淇臻g的一類開集族。X的偽基的最小基數(shù)稱為X的偽權(quán)或ψ權(quán)，記為ψw(X)。1

概念偽基亦稱ψ基。拓?fù)淇臻g的一類開集族。設(shè)B是拓?fù)淇臻gX的開集族。若對于任意x∈X有1

則稱B為X的偽基。X有偽基，當(dāng)且僅當(dāng)X是T1空間。X的偽基的最小基數(shù)稱為X的偽權(quán)或ψ權(quán)，記為ψw(X)。

拓?fù)淇臻g歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。

拓?fù)渫負(fù)涫羌仙系囊环N結(jié)構(gòu)。設(shè)T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬于T；

2.T中任意兩個成員的交屬于T；

3.T中任意多個成員的并屬于T；

則T稱為X上的一個拓?fù)?。具有拓?fù)銽的集合X稱為拓?fù)淇臻g，記為(X，T)。

設(shè)T1與T2為集合X上的兩個拓?fù)?。若有關(guān)系T1T2，則稱T1粗于T2，或T2細(xì)于T1.當(dāng)X上的兩個拓?fù)湎嗷ブg沒有包含關(guān)系時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓?fù)涫亲罴?xì)的拓?fù)?，平凡拓?fù)涫亲畲值耐負(fù)洹?/p>

基基是與拓?fù)溆嘘P(guān)的概念。設(shè)(X，T)是拓?fù)淇臻g，BT.若X的任意非空開集均可表示為B的若干個元的并，則稱B為拓?fù)淇臻g(X，T)的基或拓?fù)銽的基.拓?fù)淇臻g(X，T)可以有不同的基，但由基惟一確定X上的拓?fù)洹Ｈ艋鵅的基數(shù)為0，則B稱為可數(shù)基。拓?fù)淇臻gX的所有基的基數(shù)的最小值稱為拓?fù)淇臻gX的權(quán)。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)