[科普中國]-純量場

在數(shù)學(xué)中，這些場可以表示為多元純量值函數(shù)或向量值函數(shù)，因而相應(yīng)地稱這些函數(shù)為場，即把多元純量值函數(shù)稱為純量場(或標(biāo)量場，數(shù)量場)，多元向量值函數(shù)稱為向量場。

場是可測量的物理量在空間與時間中的連續(xù)分布。它不依賴于坐標(biāo)系的選擇。例如，物體的質(zhì)量分布成為質(zhì)量場，大氣的壓力分布成為壓力場，溫度分布成為溫度場，流體的流速分布成為速度場。在數(shù)學(xué)中，這些場可以表示為多元純量值函數(shù)或向量值函數(shù)，因而相應(yīng)地稱這些函數(shù)為場，即把多元純量值函數(shù)稱為純量場(或標(biāo)量場，數(shù)量場)，多元向量值函數(shù)稱為向量場。向量分析研究純量場與向量場。當(dāng)f是可微或C類函數(shù)時，稱場f是可微場或C類場。對場的研究離不開數(shù)學(xué)提供的三個“度”：梯度、散度與旋度。根據(jù)這三個概念的物理意義，引進了各種場的名稱：若散度div f≡0，則稱f為無源場或管狀場；若旋度rot f≡0，則稱f為無旋場；若存在u，使f=grad u，則稱f為勢場(又稱位場)，稱u為f的純量勢函數(shù)(位函數(shù))，簡稱勢函數(shù)；若存在g，使f=rot g，則稱f為旋度場，稱g為f的向量勢函數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)上的有關(guān)結(jié)論，這些場之間有下述關(guān)系：若f是C類場，且其定義域是單連通域，則f是無旋場，當(dāng)且僅當(dāng)它是勢場，f是無源場當(dāng)且僅當(dāng)它是旋度場，梯度場是無旋場，旋度場是無源場。對任何向量場f，存在純量場u及向量場g，使f=grad u+rot g(亥姆霍茲分解定理)。在數(shù)學(xué)分析中只是用多元微積分的方法初步討論場的理論。場論的進一步研究是近代物理的重要組成部分。1

向量場是由一個向量對應(yīng)另一個向量的函數(shù)。向量場廣泛應(yīng)用于物理學(xué)，尤其是電磁場。

形成場的量為向量，稱該場為向量場。

在一定的單位制下，用一個實數(shù)就足以表示的物理量是標(biāo)量，如時間、質(zhì)量、溫度等；在這里，實數(shù)表示的是這些物理量的大小。和標(biāo)量不同，矢量是除了要指明其大小還要指明其方向的物理量，如速度、力、電場強度等；矢量的嚴(yán)格定義是建立在坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換基礎(chǔ)上的。常見的矢量場包括Maxwell場、重矢量場。

建立坐標(biāo)系(x,y,z)?？臻g中每一點(x0,y0,z0)都可以用由原點指向該點的向量表示。因此，如果空間在所有點對應(yīng)一個唯一的向量(a,b,c)，那么時空中存在向量場F：(x0,y0,z0)→(a,b,c)。

幾何學(xué)與物理學(xué)的許多概念(例如，粒子的瞬時速度，力，物體繞固定點的旋轉(zhuǎn)) 都可以用一個方向加上一個正的數(shù)值所完全確定。這就是一個向量。任何X都可幾何地表示為一條從O到向量P的線段OP，它有適宜的方向，而使OP的長度等于X的量值。如果線段QR平行且等于OP，那么QR所表示的向量與OP的相同。一個向量相對於以O(shè)x，Oy，OE為軸的直線坐標(biāo)系的分量正好就是點P的坐標(biāo)(x，y，z)。(1)兩個向量的和X+X′定義為分量為 (x+x′，y+y′，z+z′)的向量，或者，等價地，就是以O(shè)P，OP′為邊的平行四邊形的對角線所表示的向量。(2)如果a是一個數(shù) (在這里，也稱為是一個標(biāo)量，則向量aX定義為其分量是(ax，ay，az) 的向量。利用這些(以及其它一些)標(biāo)記法，比起不用它們來說，可以把某些幾何的及物理的事實表達(dá)得更為簡潔明了。在研究一些連續(xù)現(xiàn)象時常常會涉及到向量場，所謂向量場是這樣一種函數(shù)： 對于空間中某個區(qū)域的每一點，它給出一個向量作為函數(shù)值。

從比較抽象的觀點來看，上面講到的定義，特別是 (1) 和 (2)，不必局限于恰好是3個分量。于是就有(實數(shù)域上的)向量空間的概念。這是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在其上定義了滿足一些自然公理的運算(1)及 (2) 。向量空間與線性的概念密切相關(guān)，凡是出現(xiàn)線性概念的場合都能用到向量空間。

梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數(shù)在該點處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值，即函數(shù)在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式如右圖。

在向量微積分中，標(biāo)量場的梯度是一個向量場。標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴(yán)格的說，從歐幾里得空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。

在單變量的實值函數(shù)的情況，梯度只是導(dǎo)數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率。

梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時也被稱為梯度。2

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