[科普中國(guó)]-平面直角坐標(biāo)系

在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱直角坐標(biāo)系（Rectangular Coordinates）**。**通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做x軸（x-axis）或橫軸，垂直的數(shù)軸叫做y軸（y-axis）或縱軸，x軸y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)（origin），以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系記作平面直角坐標(biāo)系xOy。1

發(fā)展歷程坐標(biāo)的思想是法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾所創(chuàng)立的。2

傳說(shuō)：

有一天，笛卡爾（Descartes 1596—1650，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒(méi)有休息，在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過(guò)什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)。突然，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來(lái)，一會(huì)兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開(kāi)朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數(shù)確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條直線，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個(gè)數(shù)來(lái)表示嗎？反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數(shù)，例如3、2、1，也可以用空間中的一個(gè)點(diǎn) P來(lái)表示它們。同樣，用一組數(shù)（a， b）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組二個(gè)有順序的數(shù)來(lái)表示。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系。

坐標(biāo)系在平面“二維”內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，簡(jiǎn)稱直角坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系有兩個(gè)坐標(biāo)軸，其中橫軸為x軸(x-axis)，取向右方向?yàn)檎较?；縱軸為y軸（y-axis)，取向上為正方向。坐標(biāo)系所在平面叫做坐標(biāo)平面，兩坐標(biāo)軸的公共原點(diǎn)叫做平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。x軸y軸將坐標(biāo)平面分成了四個(gè)象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個(gè)部分按逆時(shí)針?lè)较蛞来谓凶龅诙笙?、第三象限和第四象限。象限以?shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi)。一般情況下，x軸y軸取相同的單位長(zhǎng)度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長(zhǎng)度。

點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)有序數(shù)對(duì)（即點(diǎn)的坐標(biāo)(coordinates)）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，對(duì)于任意一個(gè)有序數(shù)對(duì)，都有平面上唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。

對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a,b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)(ordered pair)（a,b）叫做點(diǎn)C的坐標(biāo)。一個(gè)點(diǎn)在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣。

特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：

1.x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零。

2.在任意的兩點(diǎn)中，如果兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于縱軸（兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為零）；如果兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于橫軸（兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不為零）。

3.點(diǎn)到軸及原點(diǎn)的距離：

點(diǎn)到x軸的距離為|y|； 點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|x|；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為x的平方加y的平方的算術(shù)平方根。

象限第一象限還可以寫(xiě)成Ⅰ，****第二象限還可以寫(xiě)成Ⅱ，****第三象限還可以寫(xiě)成Ⅲ，****第四象限也可以寫(xiě)成Ⅳ。

.第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

對(duì)稱點(diǎn)1.關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫同縱反）

2.關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫反縱同）

3.關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫縱皆反）

點(diǎn)的符號(hào)橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)

第一象限：（+，+）正正

第二象限：（-，+）負(fù)正

第三象限：（-，-）負(fù)負(fù)

第四象限：（+，-）正負(fù)

x軸正半軸：（+，0）

x軸負(fù)半軸：（-，0）

y軸正半軸：（0，+)

y軸負(fù)半軸： (0，-）

x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。

原點(diǎn)：（0，0）

注：以數(shù)對(duì)形式（x，y）表示的坐標(biāo)系中的點(diǎn)。如（2，-4），“2”是x軸坐標(biāo)，“-4”是y軸坐標(biāo)。

1.第一象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)大于0，縱坐標(biāo)(y)大于0。

2.第二象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)小于0，縱坐標(biāo)(y)大于0。

3.第三象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)小于0，縱坐標(biāo)(y)小于0。

4.第四象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)大于0，縱坐標(biāo)(y)小于0。

性質(zhì)1.坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

2. 一三象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等。

3.二四象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

4.一點(diǎn)上下平移，橫坐標(biāo)不變，即平行于y軸的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。

5.y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)都為0。

6.x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)都為0。

7.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。

8.一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵鴺?biāo)的相反數(shù)。反之同樣成立。

9.一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為原坐標(biāo)相反數(shù)。

10.與x軸做軸對(duì)稱變換時(shí)，x不變，y變?yōu)橄喾磾?shù)。

11.與y軸做軸對(duì)稱變換時(shí)，y不變，x變?yōu)橄喾磾?shù)。

12.與原點(diǎn)做軸對(duì)稱變換時(shí)，y與x都變?yōu)橄喾磾?shù)。

高斯平面直角坐標(biāo)系為了方便工程的規(guī)劃、設(shè)計(jì)與施工，我們需要把測(cè)區(qū)投影到平面上來(lái)，使測(cè)量計(jì)算和繪圖更加方便。而地理坐標(biāo)是球面坐標(biāo)，當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較大時(shí)，要建平面坐標(biāo)系就不能忽略地球曲率的影響。把地球上的點(diǎn)位化算到平面上，稱為地圖投影。地圖投影的方法有很多，目前我國(guó)采用的是高斯——克呂格投影（又稱高斯正形投影），簡(jiǎn)稱高斯投影。它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯提出的，由克呂格改進(jìn)的一種分帶投影方法。它成功解決了將橢球面轉(zhuǎn)換為平面的問(wèn)題。3

投影方法高斯投影的方法是將地球按經(jīng)線劃分為帶，稱為投影帶。投影是從首子午線開(kāi)始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國(guó)領(lǐng)土位于東經(jīng)72°∽136°之間，共包括了11個(gè)6°帶，即13∽23帶；22個(gè)3°投影帶即24∽45帶。

設(shè)想一個(gè)平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖1－5（a)所示 。通過(guò)高斯投影，將中央子午線的投影作為

縱坐標(biāo)軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標(biāo)軸，用y表示，兩軸的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此構(gòu)成的平面直角坐標(biāo)系稱為高斯平面直角坐標(biāo)系，如圖1－5（b) 所示。每一個(gè)投影帶都有一個(gè)獨(dú)立的高斯平面直角坐標(biāo)系，區(qū)分各帶坐標(biāo)系則利用相應(yīng)投影帶的帶號(hào)。在每一個(gè)投影帶內(nèi)，y坐標(biāo)值都有正有負(fù)，這對(duì)于計(jì)算和使用都不方便，為了使y坐標(biāo)都為正值，故將縱坐標(biāo)軸向西平移500㎞，并在y坐標(biāo)前加上投影帶的帶號(hào)。 6°帶投影是從英國(guó)格林尼治子午線開(kāi)始，自西向東，每隔經(jīng)差6°分為一帶，將地球分為60個(gè)帶，其編號(hào)分別為1，2，3，…60。任意帶的中央子午線經(jīng)度為L(zhǎng)o，它與投影帶號(hào)N的關(guān)系如下所示：

Lo=(6N-3°)

式中：N———6°帶的帶號(hào)

離中央子午線越遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變形越大，在要求較小的投影變形時(shí)，可采用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，如圖所示。每3°為一帶，從東經(jīng)1°30′開(kāi)始，共120帶，其中央子午線在奇數(shù)帶時(shí)與6°帶的中央子午線重合，每帶的中央子午線可用下面的工式計(jì)算：

Lo=3N′

式中：N′——3°帶的帶號(hào)。

為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，3°帶的坐標(biāo)原點(diǎn)同6°帶一樣，向西移動(dòng)500㎞，并在y坐標(biāo)前加3°帶的帶號(hào)。

特點(diǎn)應(yīng)當(dāng)注意的是，高斯投影沒(méi)有角度變形，但有長(zhǎng)度變形和面積變形，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形就越大。其主要特點(diǎn)有以下三點(diǎn)：

（1）投影后中央子午線為直線，長(zhǎng)度不變形，其余經(jīng)線投影對(duì)稱并且凹向于中央子午線，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。

（2）赤道的投影也為一直線，并與中央子午線正交，其余的經(jīng)緯投影為凸向赤道的對(duì)稱曲線。

（3）經(jīng)緯投影后仍然保持相互垂直的關(guān)系，投影后有角度無(wú)變形。

應(yīng)用用直角坐標(biāo)原理在投影面上確定地面點(diǎn)平面位置的坐標(biāo)系：

與數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)系不同的是，它的橫軸為Y軸，縱軸為X軸。在投影面上，由投影帶中央經(jīng)線的投影為調(diào)軸、赤道投影為橫軸（Y軸）以及它們的交點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系稱為國(guó)家坐標(biāo)系，國(guó)家坐標(biāo)系（national coordinate system）是各國(guó)為進(jìn)行測(cè)繪和處理其成果，規(guī)定在全國(guó)范圍內(nèi)使用統(tǒng)一坐標(biāo)框架的坐標(biāo)系統(tǒng),又稱國(guó)家大地坐標(biāo)系。國(guó)家大地坐標(biāo)系是測(cè)制國(guó)家基本比例尺地圖的基礎(chǔ)。否則稱為獨(dú)立坐標(biāo)系。

坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用：

1.用坐標(biāo)表示地理位置。

2.用坐標(biāo)表示平移。

在測(cè)量學(xué)中使用的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)**（**rectangular plane coordinate system）包括高斯平面直角坐標(biāo)系和獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系。

通常選擇：高斯投影平面(在高斯投影時(shí))或測(cè)區(qū)內(nèi)平均水準(zhǔn)面的切平面(在獨(dú)立地區(qū)測(cè)量時(shí))作為坐標(biāo)平面；縱坐標(biāo)軸為x軸，向上(向北)為正；橫坐標(biāo)軸為y軸，向右(向東)為正；角度(方位角)從x軸正向開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛄咳?，象限也按順時(shí)針?lè)较蚓幪?hào)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)