[科普中國(guó)]-通項(xiàng)公式

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式（general formulas）。有的數(shù)列的通項(xiàng)可以用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子來(lái)表示。沒(méi)有通項(xiàng)公式的數(shù)列也是存在的，如所有質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列。1

定義按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，...，第n項(xiàng)，...。數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集N（或它的有限子集{1,2,3，...，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，...，an，...，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也可簡(jiǎn)記為{an}.

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

求這個(gè)數(shù)列中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)。

解：

例2 依據(jù)給出的前四項(xiàng)

寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)?/p>

所以

性質(zhì)若已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么只要依次用1,2,3,...去代替公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)。

不是任何一個(gè)無(wú)窮數(shù)列都有通項(xiàng)公式，如所有的質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式。

給出數(shù)列的前n項(xiàng)，通項(xiàng)公式不唯一。

有的數(shù)列的通項(xiàng)可以用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子來(lái)表示。

等差數(shù)列通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}，公差為d，則an=a1+(n-1)d，這就是等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

注：1）因?yàn)閍n=nd+(a1-d)，所以等差數(shù)列的圖象是橫坐標(biāo)為自然數(shù)列的同一條直線上一些分散的點(diǎn)，公差d的幾何意義是該直線的斜率。

2）等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式還可由以下公式確定：①an=am+(n-m)d，②am+n=(mam-nan)/(n-m)

3)等差數(shù)列{an}的公差d可由公式d=(an-am)/(n-m)確定。

例3 在100以內(nèi)有多少個(gè)能被7整除的自然數(shù)？

解 100 以內(nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，其中a1=7，d=7.由

可得

又因?yàn)閚∈N，所以在100以內(nèi)共有14個(gè)能被7整除的自然數(shù)。

等比數(shù)列通項(xiàng)公式如果等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.

注：1）因?yàn)閍n=a1qn-1，所以當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列的圖象是橫坐標(biāo)為自然數(shù)的同一條指數(shù)函數(shù)上一些分散的點(diǎn)。

2）等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式還可由an=amqn-m公式確定。

例4 已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，寫出其通項(xiàng)公式。

解：顯然其通項(xiàng)公式為an=2n-1.

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)