[科普中國(guó)]-非平凡解

非平凡解是矩陣代數(shù)的中的定義，屬高等數(shù)學(xué)內(nèi)容。非平凡解是齊次方程或齊次方程組的非零解。

概念非平凡解是齊次方程或齊次方程組的非零解。假設(shè)AX=0，如果行列式|A|=0，那么A不可逆， 則X有非平凡解；否則，A可逆，那么只有解X=0，即是平凡解。

解決非平凡問題的方法，有SVD法。

因?yàn)槿魏尉€性空間的子空間都過零點(diǎn)，所以明顯的等于0的時(shí)候解是成立的，但這顯然沒什么意義，說這個(gè)0解是平凡的，否則，就存在不平凡解了。

齊次方程若對(duì)多項(xiàng)式f(x1，x2，…，xn)中的變量作變換xi=tyi(i=1，2，…，n)，有f(x1，x2，…，xn)=tk·f(y1，y2，…，yn) (k∈N)，則稱f(x1，x2，…，xn)為k次齊次式。簡(jiǎn)稱齊次式。

若f(x1，x2，…，xn)是齊次式，則稱方程：f(x1，x2，…，xn)=0為齊次方程。

例如，x+y+z=0，x3+xy2+x2y+y3=0等都是齊次方程。

由齊次方程的定義可知：①齊次方程的常數(shù)項(xiàng)是零；②齊次方程必有零解；③齊次方程各項(xiàng)未知數(shù)的次數(shù)都相同，也就是說是整齊的，所以稱為齊次方程。1

線性代數(shù)線性代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一， 主要處理線性關(guān)系問題，數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系 用一次形式表達(dá)的就是線性關(guān)系。例如， 一次代數(shù)方程ax+b=c，對(duì)于變量x來說 就是線性的。中學(xué)數(shù)學(xué)中由若干個(gè)變量的 一次代數(shù)方程聯(lián)系的線性方程組求解就是 線性代數(shù)的基本問題之一。線性代數(shù)主要 研究行列式、矩陣、線性方 程組、向量空間、線性變換 和二次型等，矩陣是它的主 要工具，形成了線性代數(shù)的 核心內(nèi)容。線性代數(shù)已是數(shù) 學(xué)、物理、化學(xué)、工程、電 工技術(shù)、天文、運(yùn)籌等學(xué)科 必不可少的理論基礎(chǔ)與工具。 由于線性代數(shù)的理論很成熟， 一些復(fù)雜的非線性問題也可 化為線性問題來求解，計(jì)算 機(jī)輔助分析中的有限元法就 是一個(gè)典型。有限元法把復(fù) 雜產(chǎn)品的應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算、 熱傳導(dǎo)計(jì)算等，都化為龐大 的線性代數(shù)方程組來求解， 這對(duì)于有高速電子計(jì)算機(jī)的今天是容易辦 到的，這使過去很難精確計(jì)算的大型工程 問題得以解決。20世紀(jì)中葉，線性代數(shù)趨 于抽象化，線性空間被視為域上的模，一 般模論尤其環(huán)上的模，在代數(shù)、幾何與群 表示論中有重要應(yīng)用，也是研究同調(diào)代數(shù)、 范疇論、代數(shù)拓?fù)涞幕A(chǔ)。

線性代數(shù)從一般線性方程組出發(fā)，以 行列式、矩陣及其代數(shù)運(yùn)算、向量及其線 性關(guān)系 (線性相關(guān)，線性無關(guān)，線性組合 等)、秩等為工具討論了一般線性方程的四 個(gè)問題： 解存在的充分必要條件; 有解時(shí) 解的個(gè)數(shù); 有解時(shí)求解的方法; 矛盾方程 組的判定。加減法、代入法等經(jīng)高斯推廣 成為著名的高斯消元法，經(jīng)改進(jìn)在計(jì)算機(jī) 上實(shí)現(xiàn)。從向量及其線性關(guān)系得到線性 (向量) 空間的概念，加入 “度量” 得到歐 幾里得空間。討論了表現(xiàn)空間中向量間關(guān) 系的線性變換，線性變換通過基底轉(zhuǎn)化為 矩陣表示，特別值得重視的是線性變換或 矩陣的特征值與特征向量。

矩陣的初等變換 (與線性方程組緊密 聯(lián)系)，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 (如對(duì)角形，若當(dāng)標(biāo) 準(zhǔn)形，有理標(biāo)準(zhǔn)形等)，矩陣的分解 (如上 下三角形分解，可勒斯基分解等)，特殊矩 陣 (如正交陣與酉陣——相當(dāng)于空間的直 角坐標(biāo)變換、對(duì)稱陣與額爾米特陣——與 二次型緊密聯(lián)系、反對(duì)稱陣、稀疏矩陣、 非負(fù)元素矩陣或稱斯瑪哈斯提陣——應(yīng)用 于概率論中馬爾可夫鏈、力學(xué)中彈性振動(dòng) 的顫動(dòng)性質(zhì)) 等，組成線性代數(shù)的基本內(nèi) 容?，F(xiàn)在還包括研究矩陣的微分與積分運(yùn) 算，矩陣函數(shù)，多重線性映射和張量。

矩陣數(shù)學(xué)中重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。

矩陣的理論起源，可追溯到18世紀(jì)，見于著作則是在19世紀(jì)。高斯在1801年，艾森斯坦在1844—1852年先后把一個(gè)線性變換的全部系數(shù)作為一個(gè)整體，并用一個(gè)字母來表示。艾森斯坦還強(qiáng)調(diào)乘法次序的重要性。這些工作孕育了矩陣的思想。

矩陣這個(gè)詞是西爾維斯特首先使用的(1850)。矩陣的概念直接從行列式的概念而來，它作為表達(dá)一個(gè)線性方程組的簡(jiǎn)單記法而出現(xiàn)。脫離線性變換和行列式，對(duì)矩陣本身作專門研究，開始于英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊。1855年以后，凱萊發(fā)表了一系列研究矩陣?yán)碚摰奈恼隆ＫM(jìn)了關(guān)于矩陣的一些定義，如矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣的乘積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱矩陣等，并借助于行列式定義了方陣的的特征方程和特征根。在1858年的文章中，凱萊證明了一個(gè)重要結(jié)果：任何方陣都滿足它的特征方程。這個(gè)結(jié)果現(xiàn)被稱為凱萊—哈密頓定理。由于凱萊的奠基性工作，一般認(rèn)為他是矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)始人。

法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特、德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊布什等研究了一些特殊矩陣的特征根的性質(zhì)。德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯對(duì)矩陣?yán)碚撟隽诉M(jìn)一步的工作。他探求矩陣的最小多項(xiàng)式，并指出最小多項(xiàng)式是唯一的(后來亨澤爾證明了這個(gè)結(jié)論);引進(jìn)矩陣的秩的概念;整理了由西爾維斯特和外爾斯特拉斯提出的不變因子和初等因子的理論;給出凱萊—哈密頓定理的一般性證明;定義了正交矩陣并研究其性質(zhì)。若爾當(dāng)利用相似矩陣和特征方程的概念，證明了矩陣經(jīng)過變換可相似于一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)型”，即現(xiàn)在所謂的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。在若爾當(dāng)工作的基礎(chǔ)上，弗羅貝尼烏斯討論了合同矩陣與合同變換。弗羅貝尼烏斯關(guān)于矩陣?yán)碚摰墓ぷ饔?877年發(fā)表在《克雷爾雜志》上。至此，矩陣論的經(jīng)典內(nèi)容已建立起來。

1892年，美國(guó)數(shù)學(xué)家梅勒茨引進(jìn)矩陣的超越函數(shù)的概念，并把它寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。凱萊把超復(fù)數(shù)視為矩陣的思想在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初得到發(fā)展，與此相關(guān)形成矩陣不變量的理論。20世紀(jì)初由于積分方程的發(fā)展開始了對(duì)無窮矩陣的研究。由于近代物理的需要還開展了元素屬于抽象域的矩陣的工作。矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣等矩陣的現(xiàn)代理論也逐步發(fā)展起來。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)