[科普中國(guó)]-正交表

最簡(jiǎn)單的正交表是L4(23)，含意如下：“L”代表正交表；L 下角的數(shù)字“4”表示有 4 橫行，簡(jiǎn)稱行，即要做四次試驗(yàn)；括號(hào)內(nèi)的指數(shù)“3”表示有3 縱列，簡(jiǎn)稱列，即最多允許安排的因素是3 個(gè)；括號(hào)內(nèi)的數(shù)“2”表示表的主要部分只有2 種數(shù)字，即因素有兩種水平1與2。正交表的特點(diǎn)是其安排的試驗(yàn)方法具有均衡搭配特性。1

基本介紹正交表例如L9（34），表1-1， 它表示需作9次實(shí)驗(yàn)，最多可觀察4個(gè)因素，每個(gè)因素均為3水平。一個(gè)正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正交表，如L8（41×24），表2-1 ，此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看出，正交表是一個(gè)n行c列的表，其中第j列由數(shù)碼1，2，… Sj 組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)n/Sj 次，例如表1-1中，第二列的數(shù)碼個(gè)數(shù)為3，S=3 ，即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn)3次。

表1-1

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表2-1

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主要性質(zhì)1.正交表具有以下兩項(xiàng)性質(zhì)：

⑴每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1”與“2”，且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。

⑵任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)ψ庸灿?種：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）。每種對(duì)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)灿?種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每對(duì)出現(xiàn)數(shù)也均相等。

以上兩點(diǎn)充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即“均勻分散性，整齊可比”。通俗的說(shuō)，每個(gè)因素的每個(gè)水平與另一個(gè)因素各水平各碰一次，這就是正交性。

2.交互作用表 每一張正交表后都附有相應(yīng)的交互作用表，它是專門(mén)用來(lái)安排交互作用試驗(yàn)。下表就是L8（27）表的交互作用表。

表3-1

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實(shí)例正交表具有以下兩個(gè)特點(diǎn)。正交表必須滿足這兩個(gè)特點(diǎn)，有一條不滿足，就不是正交表。

1） 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。這一特點(diǎn)表明每個(gè)因素的每個(gè)水平與其它因素的每個(gè)水平參與試驗(yàn)的幾率是完全相同的，從而保證了在各個(gè)水平中最大限度地排除了其它因素水平的干擾，能有效地比較試驗(yàn)結(jié)果并找出最優(yōu)的試驗(yàn)條件。

2） 在任意2列其橫向組成的數(shù)字對(duì)中，每種數(shù)字對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。這個(gè)特點(diǎn)保證了試驗(yàn)點(diǎn)均勻地分散在因素與水平的完全組合之中，因此具有很強(qiáng)的代表性。

構(gòu)造過(guò)程正交表的構(gòu)造需要用到組合數(shù)學(xué)和概率學(xué)知識(shí)，而且如果正交表類型不同，則構(gòu)造方法差異很大，甚至有些正交表其構(gòu)造方法到目前還未解決。下面以正交表4-1為例，介紹一種L9[34]類型正交表的構(gòu)造過(guò)程：

1）確定正交表的行和列

正交表4-1共有四個(gè)因素，每個(gè)因素有3個(gè)水平，共需安排9次試驗(yàn)。因此，正交表4-1是一個(gè)4列、9行的表。生成正交表的表頭如表4-1所示。

表4-1

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2）確定正交表的內(nèi)容

對(duì)每個(gè)因素的水平進(jìn)行編號(hào)，分別為1、2、3，并將試驗(yàn)按照水平數(shù)3進(jìn)行分組，即每三個(gè)試驗(yàn)為一組。

對(duì)于第一列：第一組試驗(yàn)中，全部使用因素1的第1個(gè)水平；第二組試驗(yàn)中，全部使用因素1的第2個(gè)水平；第三組試驗(yàn)中，全部使用因素1的第3個(gè)水平；

對(duì)于第二列：每一組試驗(yàn)中，都分別使用因素2的三個(gè)水平1、2、3；

對(duì)于第三列：每一項(xiàng)試驗(yàn)中，每一個(gè)水平編號(hào)的確定方法見(jiàn)公式ab；

對(duì)于第四列：每一項(xiàng)試驗(yàn)中，每一個(gè)水平編號(hào)的確定方法見(jiàn)公式a2b。

3）生成正交表。

將每因素的水平編號(hào)填入表中可得正交表如表5-1所示。

表5-1

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正交陣列(orthogonal array)

正交陣列是一類組合設(shè)計(jì)。

設(shè) A 是 v 元集 X 上的 矩陣，若對(duì)任意 列所構(gòu)成的子矩陣，X 上的每一個(gè) d 元排列作為子矩陣的行各出現(xiàn)λ 次，則稱 A 為大小 N，約束數(shù) d，水平數(shù) v，強(qiáng)度 d 和指數(shù)λ 的正交陣列。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中稱正交表，記為。由定義有。

強(qiáng)度 2 的正交陣列記為，當(dāng)λ=1 時(shí)簡(jiǎn)記為的存在性等價(jià)于橫截設(shè)計(jì) 的存在性。 的存在性則等價(jià)于 k-2 個(gè) v 階相互正交拉丁方的存在性。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)