[科普中國(guó)]-留數(shù)

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要概念，指解析函數(shù)沿著某一圓環(huán)域內(nèi)包圍某一孤立奇點(diǎn)的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的積分值除以2πi。留數(shù)數(shù)值上等于解析函數(shù)的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)。根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同，采用不同的留數(shù)計(jì)算方法。留數(shù)常應(yīng)用在某些特殊類型的實(shí)積分中，從而大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過程。

洛朗展開若 是 的孤立奇點(diǎn)且 在 內(nèi)解析，則 的洛朗展開式為1：

（泰勒公式展開）

定義設(shè) 是 的孤立奇點(diǎn)， 在圓環(huán)域D： 內(nèi)解析，C是D內(nèi)圍繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，則稱積分

為 在 處的留數(shù)，記為 ，即

其中 為 的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng) 的系數(shù)。1

留數(shù)定理設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，那么1

留數(shù)的計(jì)算可去奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算

若為 的可去奇點(diǎn)，則 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng)，因此 ，即 。

本性奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算

若為 的本性奇點(diǎn)，則需要將在的去心鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開，然后求出負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)，即為留數(shù)。

極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算

1）若為的單極點(diǎn)，則

2）若，其中在處解析，如果，為的1級(jí)零點(diǎn)，則為的單極點(diǎn)，且

3)若為的m階極點(diǎn)，則

根據(jù)上面孤立奇點(diǎn)的類型，采用不同的計(jì)算方法，可以減少計(jì)算積分的工作量。2

應(yīng)用利用留數(shù)定理，可以將特殊類型的實(shí)積分轉(zhuǎn)換為某個(gè)復(fù)變函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線的積分，然后利用留數(shù)定理計(jì)算，從而大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)