[科普中國]-里奇平坦流形

數(shù)學(xué)中，里奇平坦流形（Ricci-flat manifold）是里奇張量為零的黎曼流形。在物理學(xué)中，它們代表了愛因斯坦方程在任何維數(shù)之黎曼流形且宇宙常數(shù)為零的類比，其所具有的真空解。里奇平坦流形是愛因斯坦流形的特殊情形，后者的宇宙常數(shù)并不需要為零。

概念數(shù)學(xué)中，里奇平坦流形（Ricci-flat manifold）是里奇張量為零的黎曼流形。在物理學(xué)中，它們代表了愛因斯坦方程在任何維數(shù)之黎曼流形且宇宙常數(shù)為零的類比，其所具有的真空解。里奇平坦流形是愛因斯坦流形的特殊情形，后者的宇宙常數(shù)并不需要為零。

里奇平坦流形在一般情形下，被限制屬于和樂群。其中重要的例子包括有卡拉比–丘流形與超凱勒流形。

黎曼流形黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。設(shè)M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協(xié)變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：1

1.g是對稱的，即：

g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈TpM，p∈M).

2.g是正定的，即：

g(X，X)≥0 (X∈TpM，p∈M)，

且等號僅在X=0時成立。

簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。

微分流形設(shè)M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓?fù)淞餍?，稱A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地圖，如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋，Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα，Φα)稱為坐標(biāo)卡。如果兩個坐標(biāo)卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ，則稱Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標(biāo)變換。如果A的所有坐標(biāo)變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此時A稱為解析地圖。拓?fù)淞餍蜯的坐標(biāo)卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐標(biāo)變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓?fù)淞餍蜯的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標(biāo)卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結(jié)構(gòu)。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當(dāng)r=∞時，C微分結(jié)構(gòu)也稱為光滑結(jié)構(gòu)，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結(jié)構(gòu)也稱為解析結(jié)構(gòu)，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓?fù)淞餍问蔷植繗W氏空間，局部之間用同胚映射(坐標(biāo)變換)粘貼在一起。n維C流形，不僅局部同胚于n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標(biāo)變換粘貼在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續(xù)映射，且任一點(diǎn)P∈M，有包含P點(diǎn)的M中的坐標(biāo)卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標(biāo)卡(V，?)，使得f(U)?V，同時，映射?°f°Φ-1：Φ(U)→?(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。

里奇張量里奇張量是黎曼流形的一個重要二階對稱張量。設(shè)(M，g)是一個黎曼流形，R(·，·，·，·)是它的曲率張量。對于X，Y∈Γ(TM)，若：

其中{ei}稱為M上的局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場，則Ric在每一點(diǎn)p∈M給出了TpM×TpM上的多線性函數(shù)，即它是一個(0，2)型張量場，稱為里奇張量.里奇張量是對稱的，即Ric(X，Y)=Ric(Y，X)。在局部坐標(biāo)系(U;x)下，記：

則：1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)