[科普中國(guó)]-退化拋物方程

數(shù)學(xué)真正意義上研究退化和奇異拋物偏微分方程是近些年才開(kāi)始的，起源于60年代中葉DeGiorgi，Moser，Ladyzenskajia和Ural’tzeva這些人的工作。退化拋物方程是近些年來(lái)該領(lǐng)域的進(jìn)展的綜述，其基本思想來(lái)自上個(gè)世紀(jì)90年代作者在波恩大學(xué)的Lipschitz講義。

定義數(shù)學(xué)真正意義上研究退化和奇異拋物偏微分方程是近些年才開(kāi)始的，起源于60年代中葉DeGiorgi，Moser，Ladyzenskajia和Ural’tzeva這些人的工作。

退化拋物方程是在某些點(diǎn)退化的拋物型方程。

一個(gè)線性拋物型方程可寫成如下形式：

其中，算子 的主部 滿足橢圓型條件。

如果在所討論的區(qū)域中的某些點(diǎn)上 a(x,t)=0 或者算子 退化（見(jiàn)退化橢圓方程），就稱該方程為退化拋物方程。

舉例非線性退化拋物型方程的一個(gè)典型例子是多孔介質(zhì)方程

它在 u=0 處退化。

辨析退化拋物型方程與非退化拋物型方程的性質(zhì)有許多重要的差別。

例如，非退化的拋物型方程具有擾動(dòng)無(wú)限傳播性質(zhì) (infinite propagation property)，而退化拋物型方程可能具有擾動(dòng)的有限傳播性質(zhì) (finite propagation property)。1

相關(guān)概念函數(shù)空間數(shù)學(xué)中，函數(shù)空間指的是從集合X 到集合 Y 的給定種類的函數(shù)的集合。其叫做空間的原因是在很多應(yīng)用中，它是拓?fù)淇臻g或向量空間或這二者。經(jīng)典分析學(xué)研究中出現(xiàn)了許多重要的函數(shù)空間。對(duì)一些類型的函數(shù)空間，現(xiàn)已取得相當(dāng)豐富的理論成就。

弱解數(shù)學(xué)中，微分方程的弱解或廣義解是指對(duì)該方程中的微分可能不存在，但是在某種精確定義的意義下滿足該方程的解。對(duì)于不同種類的微分方程，弱解的定義性質(zhì)也可能不同。 一類最重要的弱解基于廣義函數(shù)的記號(hào)。

退化在數(shù)學(xué)中，退化是指在一個(gè)在一個(gè)限制的情況下，一個(gè)集合中的對(duì)象改變其性質(zhì)并且屬于另一個(gè)集合，通常是變成比較簡(jiǎn)單的集合，例如，一個(gè)三角形是一個(gè)平面集合的一個(gè)對(duì)象，但是若改變其性質(zhì)將單一內(nèi)角改為180度使其邊皆重合，則它就屬于線段集合的一個(gè)對(duì)象，且線段這個(gè)集合比平面還要簡(jiǎn)單，因?yàn)樗僖粋€(gè)維度，我們就會(huì)稱此多邊形退化了。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)