[科普中國(guó)]-重尾分布

簡(jiǎn)介

重尾分布又可以分為兩個(gè)子類型，分別是長(zhǎng)尾分布（long-tailed distributions）以及次指數(shù)分布（subexponential distributions）。

定義在一個(gè)累積分布函數(shù)中，一個(gè)隨機(jī)變量X 的分布狀況，在以下?tīng)顩r時(shí)，被稱為是一個(gè)重尾分布。假設(shè)：

如果以尾部分布函數(shù)的方式來(lái)呈現(xiàn)時(shí)，

最后可以被寫(xiě)成：

這相當(dāng)于一個(gè)動(dòng)差生成函數(shù)， ，對(duì)所有的t>0 來(lái)說(shuō)，都是無(wú)限的。重尾分布的左尾，與雙尾分布，定義相同1。

解釋重尾分布意味著可以更大的概率獲得很大的值. 因此與弱隨機(jī)性相反，重尾分布一般表示病態(tài)，增加的各種結(jié)果被確定為具有重尾分布，包括收入分布、財(cái)務(wù)報(bào)告、保險(xiǎn)支出、網(wǎng)頁(yè)的參考鏈接等。重尾分布的一個(gè)特殊的子集是冪律，其意味著概率密度函數(shù)是一個(gè)冪。 一個(gè)技術(shù)難題是，不是所有的矩存在于這些分布，這一般意味著它們使用分位數(shù)和其它順序統(tǒng)計(jì)學(xué)。這也就是說(shuō)，中心極限定理不再成立。但是對(duì)于諸如均值，即穩(wěn)定分布的線性組合，我們獲得一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)極限分布。

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量， 為它的分布函數(shù)，如果當(dāng) 時(shí) 稱X的分布為重尾分布，又稱冪律分布。

一般來(lái)說(shuō)，服從重尾分布的隨機(jī)變量X具有較大甚至是無(wú)窮大的方差，而且當(dāng) 時(shí)，X的均值也是無(wú)窮的。隨機(jī)變量X會(huì)以不可忽略的概率取到非常大的數(shù)值，即：大量的小抽樣取值和少量的大抽樣取值并存。

分類1.長(zhǎng)尾分布在一個(gè)累積分布函數(shù)中，一個(gè)隨機(jī)變量X的分布，出現(xiàn)以下?tīng)顩r時(shí)，被稱為是一個(gè)長(zhǎng)尾分布。假設(shè)對(duì)所有t>0 ：

這相等于

對(duì)一個(gè)右尾部形成長(zhǎng)尾分布的狀況，我們可以做一個(gè)直觀的解釋：假如一個(gè)長(zhǎng)尾分布的尾部數(shù)量超過(guò)某個(gè)很高的水準(zhǔn)，它超過(guò)另一個(gè)更高水準(zhǔn)的機(jī)率會(huì)接近于一。也就是說(shuō)，如果你發(fā)現(xiàn)狀況很糟，它可能會(huì)比你想像的還要糟。

長(zhǎng)尾分布是重尾分布中的一個(gè)特例。所有的長(zhǎng)尾分布都是重尾分布，但反之則不然，也就是說(shuō)，我們可以找出某一個(gè)重尾分布，它不是長(zhǎng)尾分布。

次指數(shù)分布次指數(shù)分布是以概率分布的折積定義出來(lái)的。兩個(gè)獨(dú)立、不同的隨機(jī)變數(shù)的共同分布函數(shù) ，它自己的折積定義為，使用勒貝格-史臺(tái)杰斯積分（Lebesgue–Stieltjes integration） 定義為：

n-fold折積的 也以同樣方式定義。其尾端分布函數(shù)定義為{。

當(dāng)以下式子成立，概率分布函數(shù)在正的中線上，被定義為次指數(shù)分布：

這也意味著，對(duì)所有來(lái)說(shuō)：