[科普中國(guó)]-湍流模型

湍流的特點(diǎn)

湍流是不規(guī)則、多尺度、有結(jié)構(gòu)的流動(dòng)，一般是三維、非定常的，具有很強(qiáng)的擴(kuò)散性和耗散性。從物理結(jié)構(gòu)上看，湍流是由各種不同尺度的帶有旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的渦疊合而成的流動(dòng)，這些渦的大小及旋轉(zhuǎn)軸的方向分布是隨機(jī)的。大尺度的渦主要由流動(dòng)的邊界條件決定，其尺寸可以與流場(chǎng)的大小相比擬，它主要受慣性影響而存在，是引起低頻脈動(dòng)的原因；小尺度的渦主要是由粘性力決定，其尺寸可能只有流場(chǎng)尺度的千分之一的量級(jí)，是引起高頻脈動(dòng)的原因。大尺度的渦破裂后形成小尺度的渦，較小尺度的渦破裂后形成更小尺度的渦。在充分發(fā)展的湍流區(qū)域內(nèi)，流體渦的尺寸可在相當(dāng)寬的范圍內(nèi)連續(xù)變化。大尺度的渦不斷地從主流獲得能量，通過(guò)渦間的相互作用，能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。最后由于流體粘性的作用，小尺度的渦不斷消失，機(jī)械能就轉(zhuǎn)化為流體的熱能。同時(shí)由于邊界的作用、擾動(dòng)及速度梯度的作用，新的渦旋又不斷產(chǎn)生，湍流運(yùn)動(dòng)得以發(fā)展和延續(xù)。

相比于一般湍流，旋轉(zhuǎn)湍流中的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)改變了近壁湍流脈動(dòng)旋度，圓周方向湍流強(qiáng)度增強(qiáng)。在流體機(jī)械，由于強(qiáng)旋轉(zhuǎn)、大曲率和多壁面的共同影響，旋轉(zhuǎn)湍流的各向異性特性更加突出，更容易產(chǎn)生流動(dòng)分離，在葉片表面存在更大范圍的強(qiáng)剪切流動(dòng)，甚至是由層流到湍流的轉(zhuǎn)捩流動(dòng)。2

湍流計(jì)算方法無(wú)論湍流運(yùn)動(dòng)多么復(fù)雜，非穩(wěn)態(tài)的連續(xù)方程和Navier-Stokes方程對(duì)于湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然是適用的。但是，湍流所具有的強(qiáng)烈瞬態(tài)性和非線性使得與湍流三維時(shí)間相關(guān)的全部細(xì)節(jié)無(wú)法用解析的方法精確描述，況且湍流流動(dòng)的全部細(xì)節(jié)對(duì)于工程實(shí)際來(lái)說(shuō)意義不大，因?yàn)槿藗兯P(guān)心的經(jīng)常是湍流所引起的平均流場(chǎng)變化。這樣，就出現(xiàn)了對(duì)湍流進(jìn)行不同簡(jiǎn)化處理的數(shù)學(xué)計(jì)算方法。其中，最原始的方法是基于統(tǒng)計(jì)平均或其他平均方法建立起來(lái)的時(shí)均化模擬方法。但這種基于平均方程與湍流模型的研究方法只適用于模擬小尺度的湍流運(yùn)動(dòng)，不能夠從根本上解決湍流計(jì)算問(wèn)題。為了使湍流計(jì)算更能反映不同尺度的旋渦運(yùn)動(dòng)，研究人員后來(lái)又發(fā)展了大渦模擬、分離渦模擬與直接數(shù)值模擬等方法?？傮w來(lái)說(shuō)，湍流的計(jì)算方法主要分為3類(lèi): 雷諾時(shí)均模擬、尺度解析模擬和直接數(shù)值模擬。其中，前2類(lèi)方法可看成是非直接數(shù)值模擬方法。

雷諾時(shí)均模擬方法雷諾時(shí)均模擬方法是指在時(shí)間域上對(duì)流場(chǎng)物理量進(jìn)行雷諾平均化處理，然后求解所得到的時(shí)均化控制方程。比較常用的模型包括Spalart-Allmaras模型、k-ε模型、k-ω模型和雷諾應(yīng)力模型等。雷諾時(shí)均模擬方法計(jì)算效率較高，解的精度也基本可以滿足工程實(shí)際需要，是流體機(jī)械領(lǐng)域使用最為廣泛的湍流數(shù)值模擬方法。

尺度解析模擬方法尺度解析模擬方法是指對(duì)流場(chǎng)中一部分湍流進(jìn)行直接求解，其余部分通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算。比較常用的模型包括大渦模擬、尺度自適應(yīng)模擬、分離渦模擬和嵌入式大渦模擬等。這種方法對(duì)流場(chǎng)計(jì)算網(wǎng)格要求較高，特別是近壁區(qū)的網(wǎng)格密度要遠(yuǎn)大于雷諾時(shí)均法，因此所需要的計(jì)算機(jī)資源較大，但在求解瞬態(tài)性和分離性比較強(qiáng)的流動(dòng)，特別是流體機(jī)械偏離設(shè)計(jì)工況的流動(dòng)時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。

直接數(shù)值模擬方法直接數(shù)值模擬方法(Direct numerical simulation，DNS) 是直接用瞬態(tài)Navier-Stokes方程對(duì)湍流進(jìn)行計(jì)算，理論上可以得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。但是，在高雷諾數(shù)的湍流中包含尺度為10 ～ 100 μm的渦，湍流脈動(dòng)的頻率常大于10 k Hz，只有在非常微小的空間網(wǎng)格長(zhǎng)度和時(shí)間步長(zhǎng)下，才能分辨出湍流中詳細(xì)的空間結(jié)構(gòu)及變化劇烈的時(shí)間特性。對(duì)于這樣的計(jì)算要求，現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)能力還是比較困難的，DNS目前還無(wú)法用于真正意義上的工程計(jì)算。但是，局部時(shí)均化模型為開(kāi)展DNS模擬提供了一種間接方法。該模型是一種橋接模型，通過(guò)控制模型參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)從雷諾時(shí)均模擬到接近DNS的數(shù)值計(jì)算，是一種有著發(fā)展?jié)摿Φ挠?jì)算模型。2

簡(jiǎn)介湍流模型，封閉方程組。

模型分類(lèi)常用的湍流模型可根據(jù)所采用的微分方程數(shù)進(jìn)行分類(lèi)為：零方程模型、一方程模型、兩方程模型、四方程模型、七方程模型等。對(duì)于簡(jiǎn)單流動(dòng)而言，一般隨著方程數(shù)的增多，精度也越高，計(jì)算量也越大、收斂性也越差。但是，對(duì)于復(fù)雜的湍流運(yùn)動(dòng)，則不一定。

三種方法1、平均N-S方程的求解。

2、大渦模擬（LES）。

3、直接數(shù)值模擬（DNS）。

但是由于葉輪機(jī)械內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度較慢，大渦模擬和直接數(shù)值模擬還很少用于葉輪機(jī)械內(nèi)部湍流場(chǎng)的計(jì)算，更多的是通過(guò)求解平均N-S方程來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬。因?yàn)槠骄鵑-S方程的不封閉性，人們引入了湍流模型來(lái)封閉方程組，所以模擬結(jié)果的好壞很大程度上取決于湍流模型的準(zhǔn)確度。自70年代以來(lái)，湍流模型的研究發(fā)展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、兩方程模型和二階矩模型，已經(jīng)能夠十分成功的模擬邊界層和剪切層流動(dòng)。但是，對(duì)于復(fù)雜的工業(yè)流動(dòng)，比如航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的壓氣機(jī)動(dòng)靜葉相互干擾問(wèn)題，大曲率繞流，激波與邊界層相互干擾，流動(dòng)分離，高速旋轉(zhuǎn)以及其他一些原因，常常會(huì)改變湍流的結(jié)構(gòu)，使那些能夠預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單流動(dòng)的湍流模型失效，所以完善現(xiàn)有湍流模型和尋找新的湍流模型在實(shí)際工作中顯得尤為重要。3

模型理論湍流模式理論或簡(jiǎn)稱(chēng)湍流模型。湍流運(yùn)動(dòng)物理上近乎無(wú)窮多尺度漩渦流動(dòng)和數(shù)學(xué)上的強(qiáng)烈非線性，使得理論實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬都很難解決湍流問(wèn)題。雖然N-S方程能夠準(zhǔn)確地描述湍流運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，但求解這樣一個(gè)復(fù)雜的方程會(huì)花費(fèi)大量的精力和時(shí)間。實(shí)際上往往采用平均N-S方程來(lái)描述工程和物理學(xué)問(wèn)題中遇到的湍流運(yùn)動(dòng)。當(dāng)我們對(duì)三維非定常隨機(jī)不規(guī)則的有旋湍流流動(dòng)的N-S方程平均后，得到相應(yīng)的平均方程，此時(shí)平均方程中增加了六個(gè)未知的雷諾應(yīng)力項(xiàng) ，從而形成了湍流基本方程的不封閉問(wèn)題。根據(jù)湍流運(yùn)動(dòng)規(guī)律以尋找附加條件和關(guān)系式從而使方程封閉就促使了幾年來(lái)各種湍流模型的發(fā)展，而且在平均過(guò)程中失去了很多流動(dòng)的細(xì)節(jié)信息，為了找回這些失去的流動(dòng)信息，也必須引入湍流模型。雖然許多湍流模型已經(jīng)取得了某些預(yù)報(bào)能力，但至今還沒(méi)有得到一個(gè)有效的統(tǒng)一的湍流模型。同樣，在葉輪機(jī)械內(nèi)流研究中，如何找到一種更合適更準(zhǔn)確的湍流模型也有待于進(jìn)一步研究。

模型理論的思想可追溯到100多年前，為了求解雷諾應(yīng)力使方程封閉，早期的處理方法是模仿粘性流體應(yīng)力張量與變形率張量關(guān)聯(lián)表達(dá)式，直接將脈動(dòng)特征速度與平均運(yùn)動(dòng)場(chǎng)中速度聯(lián)系起來(lái)。十九世紀(jì)后期，Boussinesq提出用渦粘性系數(shù)的方法來(lái)模擬湍流流動(dòng)，通過(guò)渦粘度將雷諾應(yīng)力和平均流場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)，渦粘系數(shù)的數(shù)值用實(shí)驗(yàn)方法確定。到二次世界大戰(zhàn)前，發(fā)展了一系列的所謂半經(jīng)驗(yàn)理論，其中包括得到廣泛應(yīng)用的普朗特混合長(zhǎng)度理論，以及G.I泰勒渦量傳遞理論和Karman相似理論。他們的基本思想都是建立在對(duì)雷諾應(yīng)力的模型假設(shè)上，使雷諾平均運(yùn)動(dòng)方程組得以封閉。1940年，我國(guó)流體力學(xué)專(zhuān)家周培源教授在世界上首次推出了一般湍流的雷諾應(yīng)力輸運(yùn)微分方程；1951年在西德的Rotta又發(fā)展了周培源先生的工作，提出了完整的雷諾應(yīng)力模型。他們的工作現(xiàn)在被認(rèn)為是以二階封閉模型為主的現(xiàn)代湍流模型理論的最早奠基工作。但因?yàn)楫?dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)水平的落后，方程組實(shí)際求解還不可能。70年代后期，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，周培源等人的理論重新獲得了生命力，湍流模型的研究得到迅速發(fā)展。建立的一系列的兩方程模型和二階矩模型，已經(jīng)能十分成功地模擬邊界層和剪切層流動(dòng)，但是對(duì)于復(fù)雜的工業(yè)流動(dòng)，比如大曲率繞流，旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，透平葉柵動(dòng)靜葉互相干擾等，這些因素對(duì)湍流的影響還不清楚，這些復(fù)雜流動(dòng)也構(gòu)成了進(jìn)入二十一世紀(jì)后學(xué)術(shù)上和應(yīng)用上先進(jìn)湍流模型的研究。

湍流模型可根據(jù)微分方程的個(gè)數(shù)分為零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。這里所說(shuō)的微分方程是指除了時(shí)均N-S方程外，還要增加其他方程才能是方程封閉，增加多少個(gè)方程，則該模型就被成為多少個(gè)模型。下面分別介紹各種湍流模型的研究現(xiàn)狀和進(jìn)展

常見(jiàn)模型零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith給出；B-L模型，由Baldwin-Lomax給出。

一方程模型：來(lái)源由兩種，一種從經(jīng)驗(yàn)和量綱分析出發(fā)，針對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)逐步發(fā)展起來(lái)，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一種由二方程模型簡(jiǎn)化而來(lái)，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：應(yīng)用比較廣泛的兩方程模型有Jones與Launder提出的標(biāo)準(zhǔn)k-e模型，以及k-omega模型。

另外還有雷諾應(yīng)力模型。

選擇原則湍流模型選取的準(zhǔn)則：流體是否可壓、建立特殊的可行的問(wèn)題、精度的要求、計(jì)算機(jī)的能力、時(shí)間的限制。為了選擇最好的模型，你需要了解不同條件的適用范圍和限制。

FLUENT軟件中提供以下湍流模型：1Spalart-Allmaras 模型；2k-ε模型；3k-ω模型；4 雷諾應(yīng)力模型（RSM）；5 大渦模擬模型（LES）。

1 Spalart-Allmaras模型應(yīng)用范圍：

Spalart-Allmaras模型是設(shè)計(jì)用于航空領(lǐng)域的，主要是墻壁束縛（wall-bounded）流動(dòng)，而且已經(jīng)顯示出很好的效果。在透平機(jī)械中的應(yīng)用也愈加廣泛。在湍流模型中利用Boussinesq逼近，中心問(wèn)題是怎樣計(jì)算漩渦粘度。這個(gè)模型被Spalart-Allmaras提出，用來(lái)解決因湍流動(dòng)粘滯率而修改的數(shù)量方程。

模型評(píng)價(jià)：

Spalart-Allmaras模型是相對(duì)簡(jiǎn)單的單方程模型，只需求解湍流粘性的輸運(yùn)方程，不需要求解當(dāng)?shù)丶羟袑雍穸鹊拈L(zhǎng)度尺度；由于沒(méi)有考慮長(zhǎng)度尺度的變化，這對(duì)一些流動(dòng)尺度變換比較大的流動(dòng)問(wèn)題不太適合；比如平板射流問(wèn)題，從有壁面影響流動(dòng)突然變化到自由剪切流，流場(chǎng)尺度變化明顯等問(wèn)題。

Spalart-Allmaras模型中的輸運(yùn)變量在近壁處的梯度要比k-ε中的小，這使得該模型對(duì)網(wǎng)格粗糙帶來(lái)數(shù)值誤差不太敏感。

Spalart-Allmaras模型不能斷定它適用于所有的復(fù)雜的工程流體。例如不能依靠它去預(yù)測(cè)均勻衰退，各向同性湍流。

2 k-ε模型

① 標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型：

最簡(jiǎn)單的完整湍流模型是兩個(gè)方程的模型，要解兩個(gè)變量，速度和長(zhǎng)度尺度。在FLUENT中，標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型自從被Launder and Spalding提出之后，就變成工程流場(chǎng)計(jì)算中主要的工具了。適用范圍廣、經(jīng)濟(jì)、合理的精度。它是個(gè)半經(jīng)驗(yàn)的公式，是從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中總結(jié)出來(lái)的。

湍動(dòng)能輸運(yùn)方程是通過(guò)精確的方程推導(dǎo)得到，耗散率方程是通過(guò)物理推理，數(shù)學(xué)上模擬相似原型方程得到的。

應(yīng)用范圍：該模型假設(shè)流動(dòng)為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略，此標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型只適合完全湍流的流動(dòng)過(guò)程模擬。

② RNG k-ε模型：

RNG k-ε模型來(lái)源于嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)技術(shù)。它和標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型很相似，但是有以下改進(jìn)：

a、RNG模型在ε方程中加了一個(gè)條件，有效的改善了精度。

b、考慮到了湍流漩渦，提高了在這方面的精度。

c、RNG理論為湍流Prandtl數(shù)提供了一個(gè)解析公式，然而標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型使用的是用戶提供的常數(shù)。

d、標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型是一種高雷諾數(shù)的模型，RNG理論提供了一個(gè)考慮低雷諾數(shù)流動(dòng)粘性的解析公式。這些公式的作用取決于正確的對(duì)待近壁區(qū)域。

這些特點(diǎn)使得RNG k-ε模型比標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型在更廣泛的流動(dòng)中有更高的可信度和精度。

③ 可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型：

可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型是才出現(xiàn)的，比起標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型來(lái)有兩個(gè)主要的不同點(diǎn)：

·可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型為湍流粘性增加了一個(gè)公式。

·為耗散率增加了新的傳輸方程，這個(gè)方程來(lái)源于一個(gè)為層流速度波動(dòng)而作的精確方程。

術(shù)語(yǔ)“realizable”，意味著模型要確保在雷諾壓力中要有數(shù)學(xué)約束，湍流的連續(xù)性。

應(yīng)用范圍：

可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型直接的好處是對(duì)于平板和圓柱射流的發(fā)散比率的更精確的預(yù)測(cè)。而且它對(duì)于旋轉(zhuǎn)流動(dòng)、強(qiáng)逆壓梯度的邊界層流動(dòng)、流動(dòng)分離和二次流有很好的表現(xiàn)。

可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型和RNG k-ε模型都顯現(xiàn)出比標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型在強(qiáng)流線彎曲、漩渦和旋轉(zhuǎn)有更好的表現(xiàn)。由于帶旋流修正的k-ε模型是新出現(xiàn)的模型，所以還沒(méi)有確鑿的證據(jù)表明它比RNG k-ε模型有更好的表現(xiàn)。但是最初的研究表明可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型在所有k-ε模型中流動(dòng)分離和復(fù)雜二次流有很好的作用。

該模型適合的流動(dòng)類(lèi)型比較廣泛，包括有旋均勻剪切流，自由流（射流和混合層），腔道流動(dòng)和邊界層流動(dòng)。對(duì)以上流動(dòng)過(guò)程模擬結(jié)果都比標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的結(jié)果好，特別是可再現(xiàn)k-ε模型對(duì)圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴(kuò)張。4

模型評(píng)價(jià)可實(shí)現(xiàn)的k-ε模型的一個(gè)不足是在主要計(jì)算旋轉(zhuǎn)和靜態(tài)流動(dòng)區(qū)域時(shí)不能提供自然的湍流粘度，這是因?yàn)榭蓪?shí)現(xiàn)的k-ε模型在定義湍流粘度時(shí)考慮了平均旋度的影響。這種額外的旋轉(zhuǎn)影響已經(jīng)在單一旋轉(zhuǎn)參考系中得到證實(shí)，而且表現(xiàn)要好于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型。由于這些修改，把它應(yīng)用于多重參考系統(tǒng)中需要注意。

3 k-ω模型

① 標(biāo)準(zhǔn)的k-ω模型：

標(biāo)準(zhǔn)的k-ω模型是基于Wilcox k-ω模型，它是為考慮低雷諾數(shù)、可壓縮性和剪切流傳播而修改的。標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型的一個(gè)變形就是SST k-ω模型，它在FLUENT中也是可用的

應(yīng)用范圍：

Wilcox k-ω模型預(yù)測(cè)了自由剪切流傳播速率，像尾流、混合流動(dòng)、平板繞流、圓柱繞流和放射狀噴射，因而可以應(yīng)用于墻壁束縛流動(dòng)和自由剪切流動(dòng)。

② SST k-ω模型：

SST k-ω模型由Menter發(fā)展，以便使得在廣泛的領(lǐng)域中可以獨(dú)立于k-ε模型，使得在近壁自由流中k-ω模型有廣泛的應(yīng)用范圍和精度。為了達(dá)到此目的，k-ε模型變成了k-ω公式。SST k-ω模型和標(biāo)準(zhǔn)的k-ω模型相似，但有以下改進(jìn)：

·SST k-ω模型和k-ε模型的變形增長(zhǎng)于混合功能和雙模型加在一起?；旌瞎δ苁菫榻趨^(qū)域設(shè)計(jì)的，這個(gè)區(qū)域?qū)?biāo)準(zhǔn)的k-ω模型有效，還有自由表面，這對(duì)k-ε模型的變形有效。

·SST k-ω模型合并了來(lái)源于ω方程中的交叉擴(kuò)散。

·湍流粘度考慮到了湍流剪應(yīng)力的傳播。

·模型常量不同。

這些改進(jìn)使得SST k-ω模型比標(biāo)準(zhǔn)k-ω模型在廣泛的流動(dòng)領(lǐng)域中有更高的精度和可信度。

③ 兩個(gè)模型的對(duì)比

兩種模型有相似的形式，有方程k和ω。SST和標(biāo)準(zhǔn)模型的不同之處是：

·從邊界層內(nèi)部的標(biāo)準(zhǔn)k-ω模型到邊界層外部的高雷諾數(shù)的k－e模型的逐漸轉(zhuǎn)變。

·考慮到湍流剪應(yīng)力的影響修改了湍流粘性公式。

4 RSM模型

雷諾應(yīng)力模型

①GLCraft

Gibson - Launder Reynolds Stress Model with Craft wall reflection terms.

②GLWR

Gibson - Launder Reynolds Stress Model with standard wall reflection terms.

③GLnoWR

Gibson - Launder Reynolds Stress Model without standard wall reflection terms.

④SSG

Speziale - Sarkar - Gatski Reynolds stress model.5