[科普中國]-完全剩余系

從模n的每個剩余類中各取一個數(shù)，得到一個由n個數(shù)組成的集合，叫做模n的一個完全剩余系。完全剩余系常用于數(shù)論中存在性證明。

定義在模n的剩余類中各取一個元素，則這n個數(shù)就構(gòu)成了模n的一個完全剩余系。

同余式[congruence]

命 n 為一個自然數(shù)，a，b為整數(shù)。如果 為 n 的整數(shù)倍，則稱 a，b 關(guān)于 n 同余，用同余式 (mod n) 記之。否則稱a，b關(guān)于 n 不同余，記為 （mod n）。我們稱 n 為同余式的模（modulus）。同余式滿足：

反射性（reflection），即 （mod n）；

對稱性（symmetry），即由 （mod n）可得 （mod n）；

傳遞性（transitivity），即由 （mod n）， （mod n）可得 （mod n）。

因此，可以利用同余關(guān)系將整數(shù)分類，凡同余的數(shù)屬于一個類，于是異類中的數(shù)皆不同余。共得到整數(shù)的 n 個類。在每一個類中各取一個數(shù)作為代表所成的集合稱為模 n 的一個完全剩余系。1

舉例取最小非負剩余為代表，則得完全剩余系 。剩余類的代表相加得一數(shù)屬于另一類，這個類僅與相加兩數(shù)所在的類有關(guān)，而與代表的選取無關(guān)。于是，可以定義剩余類間的加法，以 0 所在的類 O 為單位元，則剩余類的全體關(guān)于加法構(gòu)成一個交換群。當然在剩余類之間可以定義乘法。但關(guān)于除法就不一定可能，例如 3·2 1·2（mod 4），2 2（mod 4），但 （mod 4）。

一個數(shù)除以4的余數(shù)只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系?？梢钥闯?和4，1和5，2和-2，3和11模4同余，這4組數(shù)分別屬于4個剩余類。

性質(zhì)完全剩余系常用性質(zhì)：

性質(zhì)一對于n個整數(shù)，其構(gòu)成模n的完系等價于其關(guān)于模n兩兩不同余；

性質(zhì)二若ai(1≦i≦n)構(gòu)成模n的完系，k、m?Z，(m,n)=1，則也構(gòu)成模n的完系；

性質(zhì)三若ai(1≦i≦n)構(gòu)成模n的完系，則。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)