[科普中國]-并集公理

在公理化集合論和使用它的邏輯、數(shù)學和計算機科學分支中，并集公理是Zermelo-Fraenkel集合論的公理之一。它聲稱對于任何集合A有一個集合B，它的元素完全是A的元素的元素。

概念在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中，這個公理讀作：給定任何集合A，有著一個集合B使得，給定任何集合x，x∈B，當且僅當有一個集合y使得x∈y并且y∈A。

數(shù)學定義：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合 ，即

特征并集公理實際上說的是，給定集合A，我們可以找到一個集合B，它的元素完全是A的元素的元素。根據(jù)外延公理這個集合B是唯一的，它叫做A（中元素）的并集，并表示為∪A，所以這個公理的本質(zhì)是：一個集合（中元素）的并集是一個集合。

配對公理與并集公理一起蘊涵了對于任何兩個集合，都有一個集合恰好只包含這兩個集合的元素。樸素集合論中兩個集合的并集在這里是這兩個集合的配對集合的并集，比如集合A={a}和集合B=，它們的對是{{a},}，這個對的并集是{a,b}。

并集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價公理出現(xiàn)在所有的集合論的公理化中。

注意沒有對應的交集公理。如果 A 是非空集合，則我們可以使用分離公理模式形成交集∩A，只需從A中選出一個元素（也可以取A的并集），而把P(z)設(shè)為“被A中所有集合包含”就行了，所以不需要單獨的交集公理。(如果A是空集，則嘗試如此形成A的交集是不被這些公理所允許的，如果這樣的集合存在，它將包含全集中所有的集合，而全集的概念對立于Zermelo-Fraenkel集合論。)

策梅洛-弗倫克爾集合論（1）同一律（外延公理）（axiom of extensionality)：兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即

。

（2）配對集公理（axiom of pairing）：任給兩個集合X和Y，都有一個恰好由它們組成的集合，即

。

（3）并集公理（axiom of union）：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合，即

（4）冪集公理（axiom of power set）：任給一個集合X，都有一個恰好由它的子集合的全體組成的集合，即。

（5）無限集公理：存在一個滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，

a、X含一個元素；

b、如果Y∈X，那么。其中即

。

（6）分解原理（asiom schema of separation)：即概括公理。

（7）映像存在原理（axiom schema of replacement）：設(shè)φ（x，y）是集合論語言的一個表達示。又設(shè)表達示φ（x，y）決定一種對應關(guān)系，也就是說，對于任意的集合 u ，最多存在一個集合v來滿足φ[u，v]所給出的對應要求。任給集合 X ，能夠與X中的某個元素 u 形成對應關(guān)系φ[u，v]的那些集合 v 組成一個集合 Y ，即

（8）∈極小原理（axiom of regularity，axiom of foundation）：任何一個非空集合必含有一個∈極小元素，也就是說，如果X中有一個元素，那么X中一定有一個元素都不在X之重的元素a，即

。

或者說，

注 (1) 上述的分解原理和映像存在原理實際上由無限多條公理組成，也就是說，給定一個表達式φ以上述原理就給出一條公理。

(2) 分解原理又稱概括公理應當注意到這里的表達式并非樸素集合論的概括方式。

(3) ZF 理論的前 6 條公理都由德國數(shù)學家策梅洛（Zermelo）1908 年引入。

(4) 映像存在原理又稱替換公理（置換公理），它由以色列數(shù)學家弗倫克爾（Fraenikel）1922 年引入。

(5) ∈ 極小原理又稱正則公理，它由馮諾依曼（von Neumann）1925 年引入。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學