[科普中國]-交換子

在抽象代數(shù)中，一個群的交換子或換位子是一個二元運(yùn)算子。設(shè)g及h 是群G中的元素，他們的交換子是g-1h-1gh，常記為[g, h]。只有當(dāng)g和h符合交換律（即gh = hg）時它們的交換子才是這個群的單位元。一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導(dǎo)群，記作D(G)。

簡介設(shè) 是代數(shù) 的子集，稱 中與 內(nèi)的所有元素都交換的元素構(gòu)成的集合，即 ，為 在 中的交換子，記為 。設(shè) 是希爾伯特空間，如果 是自伴子代數(shù)，則 的交換子 也是自伴子代數(shù)，并且在強(qiáng)算子拓?fù)湎麻]。

稱 在中的交換子為在中的二次交換子（double commutant），記為。類似地，可以定義更高次的交換子,,...,此時，==...,==...。1

交換子群在抽象代數(shù)中，一個群的換位子群或導(dǎo)群，是指由這個群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G(1) 。每個群都對應(yīng)著一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規(guī)子群中，交換子群G′是使得G對它的商群為交換群的最小子群。

在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因?yàn)閺慕粨Q子的定義：[x,y]= xyx-1y-1，如果x與y交換，那么[x,y]=e。一個群內(nèi)可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小?？山粨Q群的交換子群為平凡群{e}。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)