[科普中國(guó)]-格點(diǎn)

定義

數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)(lattice point)或整點(diǎn)。

性質(zhì)1、格點(diǎn)多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。

2、格點(diǎn)關(guān)于格點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為格點(diǎn)。

3、格點(diǎn)多邊形面積公式1

設(shè)某格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有格點(diǎn)a個(gè)，格點(diǎn)多邊形的邊上有格點(diǎn)b個(gè)，該格點(diǎn)多邊形面積為S，

則根據(jù)皮克公式有S=（a+b）/2-1。

4、格點(diǎn)正多邊形只能是正方形。

5、格點(diǎn)三角形邊界上無其他格點(diǎn)，內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，則該點(diǎn)為此三角形的重心。

格點(diǎn)問題格點(diǎn)問題就是研究一些特殊區(qū)域甚至一般區(qū)域中的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問題。

格點(diǎn)問題（problem on lattice point）又稱整點(diǎn)問題

起源格點(diǎn)問題起源于以下兩個(gè)問題的研究：
①狄利克雷除數(shù)問題，即求x>1時(shí)D2（x）=區(qū)域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格點(diǎn)數(shù)。

1849年，狄利克雷證明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），這里ν為歐拉常數(shù)，△（x）=O（x0.5）。

這一問題的目的是要求出使余項(xiàng)估計(jì)△（x）=O（x）成立的又的下確界θ0。
②圓內(nèi)格點(diǎn)問題，設(shè)x>1，A2（x）=圓內(nèi)μ+ν≤x上的格點(diǎn)數(shù)。

高斯證明了A2（x）=πx+R（x），這里R（x）=O（x^1/2）,求使余項(xiàng)估計(jì)R（x）=O（x）成立的λ的下確界α的問題，稱之為圓內(nèi)格點(diǎn)問題或高斯圓問題。
1903年，Г.Ф.沃羅諾伊證明了θ≤1/3；

1906年，謝爾品斯基證明了α≤1/3；

20世紀(jì)30年代，J.G.科普特證明了α≤37/112，θ≤27/82；

1934-1935年，E.C.蒂奇馬什證明了α≤15/46；

1942年，華羅庚證明了α≤13/40；

1963年，陳景潤(rùn)、尹文霖證明了α≤12/37；

1950年，遲宗陶證明了θ≤15/46；

1953年，H.里歇證明了同樣的結(jié)果；

1963年，尹文霖證明了θ≤12/37；

1985年，Г.A.科列斯尼克證明了θ≤139/429；

1985年，W.G.諾瓦克證明了α≤139/429。

在下限方面，

1916年，哈代證明了α≥1/4；

1940年，A.E.英厄姆證明了θ≥1/4。

人們還猜測(cè)θ=α=1/4，但仍然未能證明。

由此直接推廣出k維除數(shù)問題，球內(nèi)格點(diǎn)問題以及k維橢球內(nèi)的格點(diǎn)問題等。
格點(diǎn)問題所涉及到的知識(shí)點(diǎn)通常與抽屜原理和圖論知識(shí)結(jié)合在一起，一般來說與整數(shù)的奇偶性、整除性等聯(lián)系十分緊密。

舉例（1）平面上任何4n-3個(gè)整點(diǎn)中必可取出n個(gè)整點(diǎn)使其重心仍為整點(diǎn)。

（2）1983年Kemnitz猜想，用初等方法是無法解決這一困難猜想的。

（3）2000年有人使用代數(shù)方法成功地證明4n-3換成4n-2時(shí)猜想正確。
（4）2003年德國(guó)Reiher（born April19，1984）出人意料地將代數(shù)方法與組合方法巧妙地結(jié)合起來，攻下有20年之久的Kemnitz猜想。2