[科普中國]-正常重力位

定義

正常重力位是重力場(chǎng)理論中的一個(gè)基本概念。即一種正常地球模型的重力位，或平均地球橢球的重力位。其球函數(shù)級(jí)數(shù)表示式為

式中系數(shù)

G、M和ω分別為萬有引力常數(shù)、地球的質(zhì)量、地球自轉(zhuǎn)角速度；A、B、C分別為主慣量，其中C是繞地心坐標(biāo)極軸（z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；a和e分別是平均地球橢球體的赤道半徑和第一偏心率；(r,θ)為子午平面地心坐標(biāo)，由于旋轉(zhuǎn)橢球的對(duì)稱性，U與經(jīng)度λ無關(guān)。3

確定方法確定正常重力位的方法很多，主要介紹兩種：一種叫拉普拉斯(Laplace)方法。它是將重力位函數(shù)W按球諧函數(shù)展成級(jí)數(shù)，選取級(jí)數(shù)的頭幾項(xiàng)，略去余項(xiàng)，所得的近似重力位作為正常重力位。另一種方法叫斯托克斯(Stokes)方法。它是已知旋轉(zhuǎn)橢球體的表面形狀S，以及它的總質(zhì)量M和旋轉(zhuǎn)角速度ω，然后用數(shù)學(xué)方法求得該旋轉(zhuǎn)橢球體的重力位，并把它當(dāng)成正常重力位。

拉普拉斯方法用球諧函數(shù)表示的地球重力位函數(shù)：

選取頭幾項(xiàng)作為正常重力位。項(xiàng)數(shù)選取多少，需視實(shí)際觀測(cè)資料的精度和對(duì)正常重力位要求的精度而定。若選取前3項(xiàng)，所得正常重力位為：

當(dāng)令U=常數(shù)，就可得到一簇正常位水準(zhǔn)面，其中有一個(gè)是非常接近于大地水準(zhǔn)面的。它通過ρ=a，θ=π/2處，因此這個(gè)水準(zhǔn)面上的正常重力位值為：

斯托克斯方法該法是任意選擇一個(gè)近似于地球平均水準(zhǔn)面的旋轉(zhuǎn)橢球面作為正常位水準(zhǔn)面，并且已知其內(nèi)部質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)角速度，然后求得其外部位作為地球正常位。這種選擇方法更方便實(shí)用，其正常重力場(chǎng)公式就不必采用球諧函數(shù)級(jí)數(shù)展開方法推求，而采用斯托克斯理論直接導(dǎo)出其嚴(yán)密公式（封閉公式）。在推求公式時(shí)，引入了橢球正交坐標(biāo)系，這里直接給出旋轉(zhuǎn)橢球上的正常重力公式（又稱索米里安公式）：

式中，B是大地緯度（橢球面法線與赤道面的交角），a、b分別為橢球的長半徑和短半徑，γe是橢球赤道上的正常重力，γp是橢球極點(diǎn)上的正常重力。

以上是封閉形式的公式，在實(shí)際應(yīng)用中，還可導(dǎo)出級(jí)數(shù)展開、顧及到扁率平方級(jí)的正常重力公式：

式中

這就是索米里安實(shí)用公式，又稱二級(jí)小的克萊羅定理。

兩點(diǎn)說明：①封閉公式基礎(chǔ)上進(jìn)行的級(jí)數(shù)展開，可根據(jù)要求的精度決定展開的項(xiàng)數(shù)，橢圓形狀不會(huì)因此而改變。②引入新符號(hào)：

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位函數(shù)引入位函數(shù)即勢(shì)函數(shù)。4描述場(chǎng)的一種量。數(shù)值上等于單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)由無窮遠(yuǎn)處(相對(duì)于場(chǎng)的作用范圍)移至該點(diǎn)力場(chǎng)所作的功。是空間坐標(biāo)的函數(shù)，在其方向上的投影等于該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)度在同一方向上的分量。例如，設(shè)作用在質(zhì) 量為m的質(zhì)點(diǎn)上的力為F(x,y,z)， 它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為

式中ds為在力作用方向上的位移; 若力F(x,y,z)只是坐標(biāo)的函數(shù)，則Fxdx+Fydy+Fzdz恰是某一函數(shù)φ(x,y,z)的全微分，即

則把函數(shù)φ(x，y，z)稱為力的位函數(shù)。力場(chǎng)位函數(shù)是一種標(biāo)量函數(shù)。僅當(dāng)空間位置的矢量函數(shù)的旋度為零時(shí)，該函數(shù)才可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示; 力的旋度為零是力場(chǎng)位函數(shù)存在的充要條件。在地震學(xué)中研究波的傳播時(shí)，引入標(biāo)量位函數(shù)和矢量位函數(shù)，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分離變量處理，可得到分別用標(biāo)量位函數(shù)和矢量位函數(shù)表示的兩個(gè)獨(dú)立的波動(dòng)方程。前者只包含脹縮變形，后者只包含等體積的切變變形。位函數(shù)的概念使用很廣。除力場(chǎng)位函數(shù)外，還有表面電荷或質(zhì)量分布的位函數(shù)，電荷或質(zhì)量體積分布位函數(shù)以及表面上雙層偶極子分布位函數(shù)等。5